Błąd Drugiego Rodzaju w Statystyce

W statystyce błąd drugiego rodzaju oznacza sytuację, w której nie odrzucamy hipotezy zerowej (\(H_0\)), mimo że jest fałszywa. Prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu jest określane przez symbol \( \beta \).

Wzór na błąd drugiego rodzaju przedstawia się następująco:

\[ \beta = P(\text{nie odrzucenie } H_0 \mid H_1 \text{ jest prawdziwe}) \]

Wyjaśnienie wzoru na błąd drugiego rodzaju

Wzór ten oznacza prawdopodobieństwo nieodrzucenia hipotezy zerowej (\(H_0\)), kiedy hipoteza alternatywna (\(H_1\)) jest w rzeczywistości prawdziwa. Kluczowe etapy obliczania tego błędu to:

• Określenie rozkładu próby pod hipotezą zerową (\(H_0\)) i alternatywną (\(H_1\)).
• Wyznaczenie obszaru odrzucenia hipotezy zerowej (\(H_0\)).
• Obliczenie prawdopodobieństwa otrzymania wyniku testu w obszarze akceptacji, kiedy \(H_1\) jest prawdziwe.

Przykład obliczenia błędu drugiego rodzaju na podstawie owoców i warzyw

Rozważmy przykład z owocami i warzywami. Załóżmy, że chcemy przetestować, czy średnia waga pomarańczy (\(\mu_{\text{pomarańcze}}\)) jest równa średniej wadze jabłek (\(\mu_{\text{jabłka}}\)). Zakładamy, że:

• Hipoteza zerowa (\(H_0\)): \( \mu_{\text{pomarańcze}} = \mu_{\text{jabłka}} \)
• Hipoteza alternatywna (\(H_1\)): \( \mu_{\text{pomarańcze}} \neq \mu_{\text{jabłka}} \)

Jeśli średnia waga pomarańczy wynosi 150g, a średnia waga jabłek 170g, z odchyleniem standardowym obu próbek wynoszącym 20g oraz rozmiarem próby 50:

\[ H_0: \mu_{\text{pomarańcze}} = 150g \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_{\text{pomarańcze}} \neq 150g \]

Etapy obliczeń

1. Obszar odrzucenia \(H_0\): Zakładamy poziom istotności \(\alpha = 0.05\). Na podstawie rozkładu normalnego mamy: \[ Z_{\alpha/2} = 1.96 \quad \text{i} \quad -Z_{\alpha/2} = -1.96 \]
2. Obliczamy statystykę testową: \[ Z = \frac{(\bar{X} - \mu)}{(\sigma/\sqrt{n})} \] gdzie: \[ \bar{X} = 170g, \quad \mu = 150g, \quad \sigma = 20g, \quad n = 50 \]
3. Podstawiamy wartości do wzoru i obliczamy statystykę testową: \[ Z = \frac{(170 - 150)}{(20/\sqrt{50})} = \frac{20}{2.83} = 7.07 \]
4. Wyznaczamy błąd drugiego rodzaju \(\beta\). Zatem, skoro \(Z = 7.07\) daleko przekracza \(1.96\), będzie to oznaczać niemal zerową wartość \(\beta\), ale dla celów przykładu powiedzmy, że zakładamy mniej ekstremalną różnicę średnich, np. 155g. \[ Z_{H_1} = \frac{(150 - 155)}{(20/\sqrt{50})} = -1.77 \] Znajdujemy odpowiadające prawdopodobieństwo z tabeli rozkładu normalnego: \[ \beta \approx 0.0384 \]

Wartość \(\beta \approx 0.0384\) oznacza, że istnieje około 3.84% szansy na popełnienie błędu drugiego rodzaju w tym konkretnym przypadku z owocami i warzywami.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/