Centralne Twierdzenie Graniczne

Centralne twierdzenie graniczne jest jednym z najważniejszych wyników w teorii prawdopodobieństwa i statystyce. Twierdzenie to mówi, że średnia arytmetyczna n niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach, niezależnie od ich pierwotnego rozkładu, będzie zbiegać w rozkładzie do rozkładu normalnego, jeśli n jest wystarczająco duże.

Matematyczny Wzór

Matematycznie, centralne twierdzenie graniczne można przedstawić za pomocą wzoru:

\[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1) \]

gdzie:

• \(X_i\) - zmienne losowe
• \(\mu\) - wartość oczekiwana (średnia) \(X_i\)
• \(\sigma\) - odchylenie standardowe \(X_i\)

Znaczenie Wzoru

Wzór centralnego twierdzenia granicznego oznacza, że po odpowiednim przeskalowaniu sumy zmiennych losowych rozkład tej sumy będzie zbliżał się do rozkładu normalnego. W praktyce oznacza to, że nawet jeśli zaczniemy od zmiennych losowych o rozkładach innych niż normalne, to dla dużych próbek możemy korzystać z właściwości rozkładu normalnego.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Zabell, S. L. (1995). Alan Turing and the Central Limit Theorem. The American Mathematical Monthly, 102(6), 483–494. https://doi.org/10.1080/00029890.1995.12004608