Skośność w Statystyce

Skośność (ang. skewness) jest miarą asymetrii rozkładu prawdopodobieństwa danej zmiennej losowej. W statystyce, skośność pomaga zrozumieć, czy dane są skoncentrowane bardziej w kierunku wartości mniejszych (lewa skośność) czy większych (prawa skośność) w stosunku do średniej.

Czym jest skośność?

Skośność to miara asymetrii rozkładu danych. Mówi ona, w jakim stopniu rozkład jest przesunięty w jedną stronę względem średniej. Rozkład symetryczny ma skośność równą 0, natomiast skośność dodatnia (prawoskośność) oznacza, że większa część danych znajduje się po lewej stronie średniej, a skośność ujemna (lewoskośność) wskazuje, że większa część danych jest po prawej stronie średniej.

Kiedy stosujemy analizę skośności?

Analizę skośności stosujemy, gdy chcemy ocenić, czy dane są symetryczne czy też mają wyraźne odchylenia w jedną stronę. Typowe zastosowania obejmują:

• analizę rozkładu wyników testów w edukacji,
• badania ekonomiczne, np. rozkład dochodów w populacji,
• badania medyczne, gdzie rozkład wyników może być istotny dla oceny ryzyka chorób.

Jakie działania badawcze wykorzystują analizę skośności?

Analiza skośności jest stosowana w wielu dziedzinach, takich jak:

• statystyka opisowa - do oceny kształtu rozkładu danych,
• ekonomia - do analizy asymetrii rozkładów dochodów czy wydatków,
• psychologia - w badaniach nad rozkładem wyników testów psychologicznych.

Interpretacja wyników

Wartość skośności mówi nam, czy rozkład danych jest symetryczny:

• Skośność dodatnia (>0) - więcej danych znajduje się po lewej stronie średniej (rozciągnięty ogon po prawej stronie).
• Skośność ujemna (<0) - więcej danych znajduje się po prawej stronie średniej (rozciągnięty ogon po lewej stronie).
• Skośność równa 0 - rozkład jest symetryczny.

Wzór na Skośność

Wzór na skośność jest określony jako:

\[ \text{Skośność} = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^3 \]

gdzie:

• \( n \) - liczba obserwacji
• \( x_i \) - indywidualna wartość
• \( \bar{x} \) - średnia arytmetyczna
• \( s \) - odchylenie standardowe

Objaśnienie Symboli i Etapy Przeliczania

Aby obliczyć skośność, należy przejść przez poniższe kroki:

1. Obliczyć średnią arytmetyczną \( \bar{x} \) z danych.
2. Obliczyć odchylenie standardowe \( s \).
3. Przygotować każdą wartość \( x_i \) poprzez odjęcie średniej \( \bar{x} \) i podzielenie przez odchylenie standardowe \( s \).
4. Wszystkie takie wartości \( \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^3 \) podnieść do trzeciej potęgi.
5. Zsumować wszystkie tak przeliczone wartości i pomnożyć przez skalę \( \frac{n}{(n-1)(n-2)} \).

Przykład Obliczenia Skośności na Owockach i Warzywkach

Załóżmy, że mamy dane dotyczące wagi (w gramach) różnych owoców i warzyw: Jabłko (150g), Banan (120g), Marchewka (100g), Pomidor (80g), Ogórek (60g).

Obliczmy skośność tych danych krok po kroku:

1. \( \bar{x} = \frac{150 + 120 + 100 + 80 + 60}{5} = \frac{510}{5} = 102 \)
2. \[ s = \sqrt{\frac{(150 - 102)^2 + (120 - 102)^2 + (100 - 102)^2 + (80 - 102)^2 + (60 - 102)^2}{5 - 1}} \approx 34.77 \]
3. Przekształcamy wartości: \[ \frac{150 - 102}{34.77} \approx 1.38, \frac{120 - 102}{34.77} \approx 0.52, \frac{100 - 102}{34.77} \approx -0.06, \frac{80 - 102}{34.77} \approx -0.63, \frac{60 - 102}{34.77} \approx -1.21 \]
4. Podnosimy te wartości do trzeciej potęgi: \[ 1.38^3 \approx 2.62, 0.52^3 \approx 0.14, -0.06^3 \approx -0.0002, -0.63^3 \approx -0.25, -1.21^3 \approx -1.78 \]
5. Zsumujemy wynik: \[ 2.62 + 0.14 - 0.0002 - 0.25 - 1.78 \approx 0.73 \]
6. Pomnożymy przez skalę: \[ \text{Skośność} = \frac{5}{(5-1)(5-2)} \times 0.73 \approx 0.061 \]

Otrzymana skośność wynosi około 0.061, co sugeruje, że rozkład wagi naszych owoców i warzyw jest niemal symetryczny.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/