Analiza t Studenta dla prób zależnych

Analiza t Studenta dla prób zależnych (znana również jako test t dla prób powiązanych) jest techniką statystyczną stosowaną do porównywania średnich dwóch powiązanych ze sobą zestawów danych. Powiązane zestawy danych mogą pochodzić z tego samego podmiotu w dwóch różnych momentach czasu lub mogą być związane w inny sposób, na przykład poprzez pary próbek.

Czym jest test t dla prób zależnych?

Test t dla prób zależnych, znany również jako test t dla prób związanych, jest statystycznym narzędziem służącym do porównywania średnich dwóch powiązanych grup. Jest to technika, która pozwala na ocenę, czy różnice między dwiema próbami są statystycznie istotne, gdy obie grupy są ze sobą powiązane, na przykład w badaniach przed i po interwencji.

Kiedy stosujemy test t dla prób zależnych?

Test t dla prób zależnych stosuje się, gdy chcemy porównać wyniki dwóch powiązanych grup. Typowe przypadki użycia obejmują:

badania, w których te same osoby są testowane przed i po interwencji,
badania, w których pary osób są dobierane na podstawie podobnych cech (np. wiek, płeć).

Gdzie wykorzystuje się test t dla prób zależnych?

Test ten znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach naukowych, takich jak:

psychologia - do analizy efektywności terapii przed i po leczeniu,
medycyna - do oceny skuteczności nowych leków lub procedur chirurgicznych,
nauki społeczne - do badania zmian w zachowaniu lub postawach grupy w czasie.

Wzór

Wzór na obliczenie statystyki t dla prób zależnych jest następujący:

$$ t = \frac{\overline{d}}{(s_d / \sqrt{n})} $$

Gdzie:

$\overline{d}$ - średnia różnica między parami obserwacji
$s_d$ - odchylenie standardowe różnic
$n$ - liczba par

Opis wzoru

Analiza t Studenta dla prób zależnych porównuje średnią różnicę między dwiema powiązanymi próbami do odchylenia standardowego tych różnic. Wzór składa się z kilku kluczowych elementów:

$\overline{d}$ to średnia różnica między parami obserwacji. Oblicza się ją, sumując różnice dla wszystkich par, a następnie dzieląc przez liczbę par $n$.
$s_d$ to odchylenie standardowe różnic. Jest to miara rozproszenia różnic wokół ich średniej.
$n$ to liczba par w próbie.

Przykład obliczenia analizy t Studenta dla prób zależnych

Rozważmy przykład badań nad wpływem diety na poziom witamin w organizmach osób spożywających owoce i warzywa. Zmierzono poziom witaminy C w organizmach grupy osób przed i po miesiącu diety owocowo-warzywnej.

Oto wyniki pomiarów (w jednostkach witaminy C):

Przed dietą	Po diecie
54	60
55	63
58	64
52	65
53	62

Kroki obliczenia analizy t Studenta dla prób zależnych:

Oblicz różnice dla każdej pary obserwacji:
- 60 - 54 = 6
- 63 - 55 = 8
- 64 - 58 = 6
- 65 - 52 = 13
- 62 - 53 = 9
Oblicz średnią różnic: $\overline{d} = \frac{6 + 8 + 6 + 13 + 9}{5} = \frac{42}{5} = 8.4$
Oblicz odchylenie standardowe różnic (belit_2 jest formułą uproszczoną dla odchylenia standardowego):

$$ s_d = \sqrt{\frac{\sum{(d_i - \overline{d})^2}}{n-1}} $$ $$ = \sqrt{\frac{(6-8.4)^2 + (8-8.4)^2 + (6-8.4)^2 + (13-8.4)^2 + (9-8.4)^2}{4}} $$ $$ = \sqrt{\frac{5.76 + 0.16 + 5.76 + 21.16 + 0.36}{4}} $$ $$ = \sqrt{\frac{33.2}{4}} $$ $$ = \sqrt{8.3} $$ $$ \approx 2.88 $$

Ostatecznie obliczamy statystykę t:

$$ t = \frac{8.4}{(2.88 / \sqrt{5})} = \frac{8.4}{1.29} \approx 6.51 $$

Na podstawie wyniku $t \approx 6.51$, możemy stwierdzić, że różnica w średnich przed i po diecie owocowo-warzywnej jest statystycznie istotna.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Student (1908) The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6, 1-25. http://dx.doi.org/10.1093/biomet/6.1.1