Test Friedmana

Test Friedmana jest nieparametrycznym odpowiednikiem jednokierunkowej analizy wariancji (ANOVA) dla danych ułożonych w blokach, gdzie zmienne są mierzone wielokrotnie. Wzór na statystykę testu Friedmana jest następujący:

Test Friedmana jest nieparametrycznym narzędziem statystycznym stosowanym do porównywania trzech lub więcej powiązanych grup. Opracowany przez Williama Friedmana, test ten służy do oceny, czy istnieją istotne różnice w medianach między grupami, które są powiązane ze sobą, np. w badaniach przed i po interwencji.

Kiedy stosujemy test Friedmana?

Test Friedmana stosuje się, gdy chcemy porównać wyniki trzech lub więcej powiązanych grup. Jest to szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy dane są na poziomie porządkowym lub interwałowym, ale nie mają rozkładu normalnego. Test ten można wykorzystać, gdy:

mamy dane z powtórzonych pomiarów w różnych warunkach,
liczba obserwacji w grupach jest mała,
dane nie spełniają założeń testów parametrycznych.

Gdzie wykorzystuje się test Friedmana?

Test ten znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach naukowych, takich jak:

psychologia - do analizy wyników testów przed i po terapii,
medycyna - do porównywania wyników różnych metod leczenia w tej samej grupie pacjentów,
nauki przyrodnicze - do analizy wyników eksperymentów w różnych warunkach.

$Q = \frac{12}{n k (k + 1)} \sum_{j = 1}^{k} R_{j}^{2} - 3 n (k + 1)$

Gdzie:
- $n$ to liczba bloków (czyli liczba obserwacji)
- $k$ to liczba warunków (czyli liczba grup)
- $R_{j}$ to suma rang dla $j$ -tej grupy

Etapy przeliczania testu Friedmana

1. Rangi: Dla każdego bloku (obserwacji), rangi przypisuje się wartościom w każdym warunku.
2. Suma rang: Suma przypisanych rang dla każdej grupy (warunku).
3. Obliczenie statystyki Q: Użyj powyższego wzoru, aby obliczyć wartość Q.
4. Porównanie z wartością krytyczną: Na podstawie tabeli rozkładu Chi-kwadrat, porównaj wartość obliczoną z wartością krytyczną.

Przykład obliczenia testu Friedmana na owocach i warzywach

Rozważmy poniższe dane dotyczące preferencji trzech rodzajów produktów (jabłka, banany, marchewki) ocenianych przez czterech konsumentów:

Konsument	Jabłka	Banany	Marchewki
1	3	2	1
2	2	3	1
3	1	2	3
4	1	3	2

1. Przydzielanie rang

Dla każdego konsumenta przypisujemy rangi wartościom w każdym warunku:

Konsument	Jabłka (Rangi)	Banany (Rangi)	Marchewki (Rangi)
1	3	2	1
2	2	3	1
3	1	2	3
4	1	3	2

2. Suma rang dla każdej grupy (warunku)

Obliczamy sumę rang dla każdego rodzaju produktów:

Jabłka: 3 + 2 + 1 + 1 = 7
Banany: 2 + 3 + 2 + 3 = 10
Marchewki: 1 + 1 + 3 + 2 = 7

3. Obliczenie statystyki Q

Podstawiamy wartości do wzoru:

$Q = \frac{12}{n k (k + 1)} \sum_{j = 1}^{k} R_{j}^{2} - 3 n (k + 1)$

Gdzie, $n = 4$ (liczba konsumentów), $k = 3$ (liczba rodzajów produktów), oraz $\sum_{j = 1}^{k} R_{j}^{2} = 7^{2} + 10^{2} + 7^{2} = 49 + 100 + 49 = 198$ .

$Q = \frac{12}{4 \cdot 3 \cdot 4} \cdot 198 - 3 \cdot 4 \cdot 4$ $Q = \frac{12}{48} \cdot 198 - 48$ $Q = 4.9583$

4. Porównanie z wartością krytyczną

Na poziomie istotności $α = 0.05$ , wartość krytyczna $χ^{2}$ dla 2 stopni swobody (k-1 = 3-1 = 2) wynosi około 5.991. Ponieważ $Q = 4.9583$ jest mniejsze niż 5.991, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że nie ma istotnych różnic pomiędzy preferencjami dla tych trzech rodzajów produktów.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Friedman, M. (1937), "The Use of Ranks to Avoid the Assumption of Normality Implicit in the Analysis of Variance," Journal of the American Statistical Association, 32, 675-70