Test Dwumianowy

Test dwumianowy służy do analizy danych binarnych, gdzie możliwe są tylko dwie kategorie odpowiedzi, np. tak/nie, sukces/porażka lub prawda/fałsz. Jest to test statystyczny, który bada, czy obserwowana proporcja sukcesów w próbie różni się od teoretycznie oczekiwanej proporcji lub proporcji w innej próbie.

Kiedy stosujemy test dwumianowy?

Kiedy mamy dane binarne (dwukategorialne).
Kiedy chcemy sprawdzić, czy obserwowana proporcja sukcesów różni się od wartości oczekiwanej.
Kiedy próbka jest stosunkowo mała i nie można użyć innych testów (np. chi-kwadrat).

Przykłady zastosowania

Test dwumianowy jest często stosowany w badaniach naukowych w dziedzinach takich jak:

Psychologia - aby sprawdzić, czy większy odsetek osób preferuje jeden z dwóch produktów.
Medycyna - aby zbadać skuteczność leczenia (np. liczba pacjentów, którzy wyzdrowieli po terapii).
Socjologia - aby ocenić, czy więcej osób wybiera konkretną opcję w ankiecie.

Krok 1: Wzór na test dwumianowy

Wzór na test dwumianowy to:

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $$

Gdzie:

n – liczba prób (w naszym przypadku 100, czyli liczba dzieci w klasie),
k – liczba sukcesów (w naszym przypadku 60, czyli liczba chłopców),
p – oczekiwane prawdopodobieństwo sukcesu (50% czyli 0.5, zakładamy, że połowa dzieci to chłopcy),
1 - p – prawdopodobieństwo porażki (również 0.5, ponieważ zakładamy, że połowa dzieci to dziewczynki).

Krok 2: Obliczenie współczynnika dwumianowego

Współczynnik dwumianowy $ \binom{n}{k} $ określa, ile jest możliwych sposobów wyboru k sukcesów z n prób. Obliczamy to według wzoru:

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$

Dla naszego przykładu, n = 100 i k = 60. Wartość współczynnika dwumianowego wynosi:

$$ \binom{100}{60} = \frac{100!}{60! \cdot (100 - 60)!} = \frac{100!}{60! \cdot 40!} $$

Obliczenie dokładnej wartości wymaga użycia kalkulatora matematycznego lub odpowiedniego narzędzia programistycznego, ponieważ liczby te są bardzo duże.

Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa

Teraz obliczamy prawdopodobieństwo uzyskania 60 chłopców w 100-osobowej klasie, zakładając, że prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 50%:

$$ P(X = 60) = \binom{100}{60} (0.5)^{60} (0.5)^{40} $$

Ponieważ:

$ (0.5)^{60} $ to prawdopodobieństwo sukcesu 60 razy,
$ (0.5)^{40} $ to prawdopodobieństwo porażki 40 razy.

Całe wyrażenie daje nam prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 60 chłopców.

Krok 4: Interpretacja wyniku

Ostateczny wynik obliczeń to tzw. p-wartość. Jeśli p-wartość jest mniejsza niż przyjęty poziom istotności (np. 0.05), oznacza to, że liczba chłopców (60) różni się istotnie od oczekiwanej wartości (50 chłopców). W przeciwnym razie uznajemy, że różnica nie jest statystycznie istotna.

W skrócie:

Jeśli p-wartość < 0.05: Różnica jest istotna – liczba chłopców różni się od oczekiwanej wartości 50%.
Jeśli p-wartość ≥ 0.05: Różnica nie jest istotna – liczba chłopców nie różni się od 50%.

W praktyce, aby dokładnie obliczyć p-wartość, używa się specjalnych narzędzi, takich jak oprogramowanie statystyczne (np. R, Python).

Przykład kodu w języku R:

Kod w R


# Ustawienia
n <- 100      # Liczba dzieci w klasie
k <- 60       # Liczba chłopców
p <- 0.5      # Oczekiwane prawdopodobieństwo sukcesu (50%)

# Przeprowadzenie testu dwumianowego
test_result <- binom.test(k, n, p)

# Wyświetlenie wyników
print(test_result)

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

(2008). Binomial Test. In: The Concise Encyclopedia of Statistics. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-0-387-32833-1_36