Test Levene'a w Statystyce

Test Levene'a służy do sprawdzenia homogeniczności wariancji (jednorodności wariancji) w różnych grupach danych. Jest to istotne w kontekście wielu testów statystycznych, takich jak analiza wariancji (ANOVA), które zakładają, że wariancje są jednakowe w różnych grupach.

Czym jest test Levene'a?

Test Levene'a jest statystycznym narzędziem używanym do oceny równości wariancji w różnych grupach. Opracowany przez Howard Levene'a w 1960 roku, test ten ma na celu sprawdzenie, czy rozkłady różnych grup mają taką samą wariancję, co jest istotne w wielu analizach statystycznych.

Kiedy stosujemy test Levene'a?

Test Levene'a stosuje się, gdy chcemy zweryfikować, czy wariancje w różnych grupach są sobie równe. Jest to szczególnie ważne przed przeprowadzeniem analiz, które zakładają jednorodność wariancji, takich jak:

analiza wariancji (ANOVA),
test t-Studenta dla niezależnych prób.

Jakie działania badawcze wykorzystują test Levene'a?

Test ten jest powszechnie stosowany w różnych dziedzinach naukowych, takich jak:

psychologia - do analizy różnic w wynikach testów w różnych grupach,
medycyna - do porównywania wyników różnych terapii lub grup pacjentów,
nauki przyrodnicze - do analizy danych eksperymentalnych z różnych warunków.

Interpretacja wyników

Po przeprowadzeniu testu otrzymujemy wartość p (p-value). Jeśli p < 0.05, odrzucamy hipotezę zerową, co oznacza, że wariancje grup są różne. Jeśli p ≥ 0.05, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co sugeruje, że wariancje grup są sobie równe.

Wzór na test Levene'a

Test Levene'a przekształca każdą wartość danych do nowej zmiennej:

\[ Z_{ij} = |Y_{ij} - \tilde{Y}_i| \]

gdzie:

\( Z_{ij} \) - Przekształcona wartość dla i-tej grupy i j-tej obserwacji.
\( Y_{ij} \) - Oryginalna wartość dla i-tej grupy i j-tej obserwacji.
\( \tilde{Y}_i \) - Mediana dla i-tej grupy.

Następnie przetestujmy hipotezę dotyczące średnich \( Z_{ij} \). Statystyka testu wyraża się wzorem:

\[ W = \frac{(N - k)}{(k - 1)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^k N_i (\bar{Z}_i - \bar{Z})^2}{\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{N_i} (Z_{ij} - \bar{Z}_i)^2} \]

gdzie:

\( N \) - Całkowita liczba obserwacji.
\( k \) - Liczba grup.
\( N_i \) - Liczba obserwacji w i-tej grupie.
\( \bar{Z}_i \) - Średnia wartość \( Z_{ij} \) w i-tej grupie.
\( \bar{Z} \) - Średnia wartość wszystkich \( Z_{ij} \).

Przykład Obliczenia Testu Levene'a - Owocki i Warzywka

Załóżmy, że mamy dwie grupy danych: \"Owocki\" i \"Warzywka\". Nasze obserwacje to:

Owocki: 10, 12, 13, 9, 11

Warzywka: 8, 9, 7, 6, 10

Obliczamy mediany dla każdej grupy:

Mediana(Owocki) = 11

Mediana(Warzywka) = 8

Teraz przekształcamy wartości do \( Z_{ij} \):

Owocki: \( |10-11|, |12-11|, |13-11|, |9-11|, |11-11| \rightarrow 1, 1, 2, 2, 0 \)

Warzywka: \( |8-8|, |9-8|, |7-8|, |6-8|, |10-8| \rightarrow 0, 1, 1, 2, 2 \)

Teraz obliczamy średnie wartości przekształconych danych \( \bar{Z}_i \) i średnią z wszystkich przekształconych wartości \( \bar{Z} \):

\( \bar{Z}_\text{Owocki} = \frac{1+1+2+2+0}{5} = 1.2 \)

\( \bar{Z}_\text{Warzywka} = \frac{0+1+1+2+2}{5} = 1.2 \)

\( \bar{Z} = \frac{1.2+1.2}{2} = 1.2 \)

Teraz podstawiamy te wartości do wzoru na test Levene'a:

\[ W = \frac{(10 - 2)}{(2 - 1)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^2 N_i (\bar{Z}_i - \bar{Z})^2}{\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^{5} (Z_{ij} - \bar{Z}_i)^2} \]

\[ W = \frac{8}{1} \cdot \frac{5(1.2 - 1.2)^2 + 5(1.2 - 1.2)^2}{\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^{5} (Z_{ij} - 1.2)^2} \]

\[ W = 8 \cdot \frac{0 + 0}{\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^{5} (Z_{ij} - 1.2)^2} \]

\[ W = 0 \]

Wynik \( W = 0 \) sugeruje, że nie ma istotnych różnic między wariancjami grup Owocki i Warzywka.

Powyższe obliczenia pokazują, jak przeprowadzić test Levene'a, mając rzeczywiste przykłady z danymi. Test Levene'a jest kluczowym narzędziem w analizie danych, ponieważ pozwala upewnić się, że założenia jednorodności wariancji są spełnione, co z kolei umożliwia poprawne stosowanie innych technik statystycznych.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Levene, H. “Robust Tests for Equality of Variances,” In: I. Olkin, et al., Eds., Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling, Stanford University Press, Palo Alto, 1960, pp. 278-292.