Analiza Wariancji dla Powtarzanych Pomiarów/prób zależnych

Co to jest?

Analiza wariancji dla powtarzanych pomiarów (ANOVA) to statystyczna metoda stosowana do porównania średnich wartości w sytuacjach, gdy te same obiekty (np. osoby) są badane w różnych warunkach lub w różnych punktach czasowych. W przeciwieństwie do klasycznej analizy wariancji, która porównuje różne grupy, ANOVA dla powtarzanych pomiarów bada, jak zmieniają się wyniki tego samego obiektu w czasie lub pod wpływem różnych warunków.

Kiedy się go używa?

ANOVA dla powtarzanych pomiarów jest używana, gdy:

• Chcemy zbadać efekty różnych warunków na tę samą grupę obiektów.
• Mamy kilka pomiarów wykonanych na tej samej próbce, co pozwala zredukować błąd międzygrupowy.
• Interesuje nas, jak zmienia się wynik w czasie lub pod wpływem różnych interwencji.

Zastosowania w badaniach naukowych

Analiza wariancji dla powtarzanych pomiarów znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym:

• Psychologia: badanie efektów terapii na grupie pacjentów w różnych punktach czasowych.
• Medycyna: ocena skuteczności leczenia poprzez monitorowanie pacjentów przed i po interwencji.
• Społeczno-naukowe badania: analiza zmian w zachowaniach lub postawach w wyniku różnych interwencji społecznych.

Wzór na analizę wariancji dla prób zależnych

Wzór na analizę wariancji dla prób zależnych to:

\[ F = \frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} \]

gdzie:

• \( MS_{Between} \) - średnia kwadratów między warunkami
• \( MS_{Within} \) - średnia kwadratów wewnątrz warunków

Aby obliczyć powyższe składniki, używamy dodatkowych wzorów:

\[ MS_{Between} = \frac{SS_{Between}}{df_{Between}} \]

gdzie:

• \( SS_{Between} \) - suma kwadratów między warunkami
• \( df_{Between} \) - stopnie swobody między warunkami

oraz

\[ MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{df_{Within}} \]

gdzie:

• \{SS_{Within}} - suma kwadratów wewnątrz warunków
• \(df_{Within}) - stopnie swobody wewnątrz warunków

Przykład obliczeń: Analiza wariancji dla prób zależnych na owocach i warzywach

Rozważmy przykład, w którym chcemy zbadać zmiany w poziomach witaminy C u trzech różnych grup owoców i warzyw. Nasze dane to poziomy witaminy C przed i po pewnym zabiegu:

Oby obliczyć \( F \) dla naszej analizy wariancji dla prób zależnych, musimy najpierw obliczyć sumę kwadratów dla każdego składnika:

Kroki obliczeń

1. Suma kwadratów między warunkami (\(SS_{Between}\)) - obliczamy różnice między średnimi dla każdej grupy przed i po: \[ \bar{X}_1 = \frac{55+40+30}{3} = 41.67 \\ \bar{X}_2 = \frac{60+45+35}{3} = 46.67 \]
2. Następnie obliczamy średnią różnicę i różnice między średnimi: \[ SS_{Between} = n(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)^2 = 3 * (41.67 - 46.67)^2 = 75 \\ df_{Between} = k - 1 = 2 - 1 = 1 \]
3. Średnia kwadratów między warunkami (\(MS_{Between}\)): \[ MS_{Between} = \frac{SS_{Between}}{df_{Between}} = \frac{75}{1} = 75 \]
4. Suma kwadratów wewnątrz warunków (\(SS_{Within}\)) obliczamy dla każdej różnicy: \[ SS_{Within} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (X_{ij} - \bar{X}_j)^2 \\ = ((55 - (55+60)/2)^2 + (60 - (55+60)/2)^2) + \ldots = 50 \\ df_{Within} = n(k-1) = 3 * (2 - 1) = 3 \]
5. Średnia kwadratów wewnątrz warunków (\(MS_{Within}\)): \[ MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{df_{Within}} = \frac{50}{3} = 16.67 \]
6. Wartość statystyki \(F\): \[ F = \frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} = \frac{75}{16.67} = 4.5 \]

Zatem wartość statystyki \( F \) dla tej analizy wariancji dla prób zależnych wynosi 4.5. Aby ustalić, czy różnica jest istotna statystycznie, musimy porównać tę wartość z odpowiednią wartością krytyczną z tabeli \(F\) dla naszych stopni swobody.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Fisher RA. Studies in crop variation. I. An examination of the yield of dressed grain from Broadbalk. The Journal of Agricultural Science. 1921;11(2):107-135. doi:10.1017/S0021859600003750