Analiza Korelacji Pearsona Wzór

Analiza korelacji Pearsona to metoda statystycznej analizy zależności pomiędzy dwiema zmiennymi ilościowymi. Wskaźnik korelacji Pearsona jest oznaczany jako r i przyjmuje wartość w przedziale od -1 do 1. Wartość r wynosząca 1 oznacza idealną dodatnią korelację, wartość r wynosząca -1 oznacza idealną ujemną korelację, a wartość 0 oznacza brak jakiejkolwiek korelacji.

Wzór na Analizę Korelacji Pearsona

Wzór na współczynnik korelacji Pearsona można zapisać jako:

$$r=\frac{\sum (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sqrt{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2}}$$

Gdzie:

• $r$ - współczynnik korelacji Pearsona
• $X_i$ - i-ta obserwacja zmiennej $X$
• $Y_i$ - i-ta obserwacja zmiennej $Y$
• $\overline{X}$ - średnia arytmetyczna zmiennej $X$
• $\overline{Y}$ - średnia arytmetyczna zmiennej $Y$

Przykład Obliczenia Analizy Korelacji Pearsona

Załóżmy, że mamy dane na temat liczby jabłek i marchewek sprzedanych przez sklepy w ciągu tygodnia:

• Sklep A: 10 jabłek, 20 marchewek
• Sklep B: 20 jabłek, 25 marchewek
• Sklep C: 30 jabłek, 30 marchewek

Na podstawie tych danych obliczymy współczynnik korelacji Pearsona.

1. Obliczamy średnie wartości dla jabłek i marchewek:
   • Średnia liczba jabłek: $\overline{X}=\frac{10+20+30}{3}=20$
   • Średnia liczba marchewek: $\overline{Y}=\frac{20+25+30}{3}=25$
2. Obliczamy sumy:
   • $$\sum (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})=(10-20)(20-25)+(20-20)(25-25)+(30-20)(30-25)=75$$
   • $$\sum (X_i-\overline{X}{)}^2=(10-20{)}^2+(20-20{)}^2+(30-20{)}^2=200$$
   • $$\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2=(20-25{)}^2+(25-25{)}^2+(30-25{)}^2=50$$
3. Obliczamy współczynnik korelacji Pearsona:
   • $$r=\frac{75}{\sqrt{200\cdot 50}}=\frac{75}{\sqrt{10000}}=\frac{75}{100}=0.75$$

Z obliczeń wynika, że współczynnik korelacji Pearsona wynosi 0.75, co oznacza silną dodatnią korelację pomiędzy liczbą sprzedanych jabłek a marchewek.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Pearson, K. (1895) Notes on Regression and Inheritance in the Case of Two Parents Proceedings of the Royal Society of London, 58, 240-242. https://doi.org/10.1098/rspl.1895.0041