Odchylenie Standardowe dla próby

W statystyce, odchylenie standardowe dla próby jest miarą rozproszenia zbioru danych wokół jego średniej wartości. Im mniejsze odchylenie standardowe, tym dane są bliżej średniej, a większe odchylenie standardowe wskazuje na większe rozproszenie danych dla próby.

Wzór na odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe (dla próby) oblicza się za pomocą następującego wzoru:

$$ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} $$

Gdzie:

• \( s \) – odchylenie standardowe
• \( n \) – liczba obserwacji w próbie
• \( x_i \) – wartość każdej obserwacji
• \( \bar{x} \) – średnia arytmetyczna próbki

Etapy obliczania odchylenia standardowego

1. Oblicz średnią arytmetyczną próbki (\( \bar{x} \)).
2. Dla każdej wartości w zbiorze danych oblicz różnicę pomiędzy wartością a średnią (\( x_i - \bar{x} \)).
3. Podnieś każdą z tych różnic do kwadratu (\( (x_i - \bar{x})^2 \)).
4. Zsumuj wszystkie wyniki z kroku 3 (\( \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \)).
5. Podziel sumę przez liczbę obserwacji minus jeden (\( n - 1 \)).
6. Oblicz pierwiastek kwadratowy z wyniku otrzymanego w kroku 5.

Przykład obliczenia odchylenia standardowego na owocach i warzywach

Załóżmy, że mamy dane dotyczące masy (w gramach) 5 owoców i warzyw: 80g, 85g, 88g, 92g, 100g.

1. Obliczamy średnią: $$ \bar{x} = \frac{80 + 85 + 88 + 92 + 100}{5} = 89 $$
2. Obliczamy różnice pomiędzy każdą wartością a średnią:
   • \( 80 - 89 = -9 \)
   • \( 85 - 89 = -4 \)
   • \( 88 - 89 = -1 \)
   • \( 92 - 89 = 3 \)
   • \( 100 - 89 = 11 \)
3. Podnosimy różnice do kwadratu:
   • \( (-9)^2 = 81 \)
   • \( (-4)^2 = 16 \)
   • \( (-1)^2 = 1 \)
   • \( (3)^2 = 9 \)
   • \( (11)^2 = 121 \)
4. Zsumujemy wyniki: $$ 81 + 16 + 1 + 9 + 121 = 228 $$
5. Podzielimy sumę przez \( n - 1 \): $$ \frac{228}{5 - 1} = \frac{228}{4} = 57 $$
6. Obliczamy pierwiastek kwadratowy z wyniku: $$ s = \sqrt{57} \approx 7.55 $$

Zatem, odchylenie standardowe dla masy owoców i warzyw wynosi około 7.55 gramów.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Bland J M, Altman D G. Statistics notes: Measurement error BMJ 1996; 312 :1654 doi:10.1136/bmj.312.7047.1654