Odchylenie standardowe dla populacji

Odchylenie standardowe dla populacji jest miarą, która określa, jak bardzo wartości w zbiorze danych różnią się od ich średniej arytmetycznej. Jest to jedna z najczęściej używanych metod do oceny zmienności danych. Odchylenie standardowe dla populacji oznaczamy jako \( \sigma \) (sigma).

Wzór na odchylenie standardowe dla populacji

Wzór na odchylenie standardowe dla populacji wygląda następująco:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} \]

gdzie:

• \( \sigma \) - odchylenie standardowe dla populacji
• \( N \) - liczba wszystkich elementów w populacji
• \( x_i \) - wartość i-tego elementu populacji
• \( \mu \) - średnia arytmetyczna populacji
• \( \sum \) - symbol sumy

Etapy przeliczania wzoru

1. Oblicz średnią arytmetyczną \( \mu \) dla całej populacji: \[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]
2. Od każdego elementu \( x_i \) odejmij średnią \( \mu \) i wynik podnieś do kwadratu: \[ (x_i - \mu)^2 \]
3. Zsumuj otrzymane wartości: \[ \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \]
4. Podziel uzyskaną sumę przez liczbę elementów \( N \): \[ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \]
5. Oblicz pierwiastek kwadratowy z wyniku: \[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} \]

Przykład obliczenia odchylenia standardowego dla populacji

Weźmy pod uwagę zbiór danych dotyczących masy owoców i warzyw w gramach: {200, 150, 170, 190, 230}.

1. Oblicz średnią arytmetyczną \( \mu \): \[ \mu = \frac{200 + 150 + 170 + 190 + 230}{5} = \frac{940}{5} = 188 \]
2. Oblicz różnice między każdą wartością a średnią i podnieś je do kwadratu:
   • \((200 - 188)^2 = (12)^2 = 144\)
   • \((150 - 188)^2 = (-38)^2 = 1444\)
   • \((170 - 188)^2 = (-18)^2 = 324\)
   • \((190 - 188)^2 = (2)^2 = 4\)
   • \((230 - 188)^2 = (42)^2 = 1764\)
3. Zsumuj otrzymane wartości: \[ 144 + 1444 + 324 + 4 + 1764 = 3680 \]
4. Podziel uzyskaną sumę przez liczbę elementów \( N \): \[ \frac{3680}{5} = 736 \]
5. Oblicz pierwiastek kwadratowy z wyniku: \[ \sigma = \sqrt{736} \approx 27.11 \]

Odchylenie standardowe dla populacji w naszym przykładzie wynosi około 27.11 gramów. Odchylenie standardowe dla populacji w tym przypadku informuje nas, jak bardzo masa owoców i warzyw różni się od średniej masy.

Bibliografia:

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/

Bland J M, Altman D G. Statistics notes: Measurement error BMJ 1996; 312 :1654 doi:10.1136/bmj.312.7047.1654