Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna to jeden z rodzajów średnich stosowanych w statystyce i matematyce. Używamy jej głównie wtedy, gdy chcemy obliczyć średnią dla wartości, które są wyrażone w jednostkach związanych z odwrotnościami (np. prędkość, wydajność). Jest to szczególnie przydatne, gdy interesuje nas średnia wag dla wartości takich jak prędkości czy współczynniki efektywności.

Wzór na średnią harmoniczną

Średnia harmoniczna dla zestawu n liczb, takich jak x₁, x₂, ..., x_n, jest obliczana za pomocą poniższego wzoru:

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_n)

Kiedy używamy średniej harmonicznej?

Średnia harmoniczna znajduje zastosowanie, gdy:

Obliczamy średnią wartości, które są odwrotnościami lub proporcjami (np. prędkość, wydajność).
Interesuje nas zbalansowana wartość dla danych opisujących wzajemne zależności, np. średnia prędkość przy nierównych odległościach czy stopy procentowe przy różnych okresach.

Przykład zastosowania

Wyobraź sobie, że jedziesz samochodem przez 60 km z prędkością 30 km/h, a kolejne 60 km z prędkością 60 km/h. Aby obliczyć średnią prędkość z całej podróży, nie używamy zwykłej średniej arytmetycznej, tylko średnią harmoniczną:

H = 2 / (1/30 + 1/60) ≈ 40 km/h

Widzimy więc, że średnia prędkość wynosi 40 km/h, a nie 45 km/h (co byłoby wynikiem zastosowania zwykłej średniej arytmetycznej).

W jakich dziedzinach nauki stosujemy średnią harmoniczną?

Średnia harmoniczna jest często stosowana w naukach ekonomicznych, inżynierii oraz fizyce. Przykładowo:

W ekonomii używa się jej do obliczania wskaźników, takich jak stopy procentowe w różnych okresach.
W fizyce służy do obliczeń dotyczących prędkości przy zmieniających się odległościach.
W inżynierii stosuje się ją do obliczania wydajności maszyn i systemów.

Podsumowanie

Średnia harmoniczna jest użytecznym narzędziem, gdy chcemy obliczyć średnią dla wartości, które są odwrotnościami lub proporcjami. Pozwala ona na uzyskanie bardziej adekwatnej średniej niż zwykła średnia arytmetyczna w sytuacjach, gdy wartości różnią się znacząco między sobą, szczególnie w przypadku szybkości czy efektywności.

Średnia harmoniczna to jedna z miar średnich stosowana w statystyce, szczególnie użyteczna przy przeliczaniu średnich wartości wielkości odwrotnych, takich jak prędkość lub gęstość. Wzór na średnią harmoniczną dla zestawu \(n\) liczb \(x_1, x_2, ..., x_n\) wygląda następująco:

\[ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]

Wyjaśnienie wzoru

Symbole używane we wzorze:

\(H\) - Średnia harmoniczna
\(n\) - Liczba elementów w zestawie
\(\sum_{i=1}^{n}\) - Symbol sumy, który wskazuje na konieczność dodania wszystkich odwrotności elementów od \(x_1\) do \(x_n\)

Średnia harmoniczna skupia się na odwrotnościach danych wartości. Najpierw obliczamy odwrotności poszczególnych wartości, sumujemy je, a następnie dzielimy liczbę elementów przez tę sumę. Oto etapy przeliczania wzoru:

Obliczanie odwrotności każdej wartości: \(\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2},..., \frac{1}{x_n}\)
Sumowanie tych odwrotności: \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}\)
Podzielenie liczby elementów przez wynikającą sumę: \( \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \)

Przykład obliczenia średniej harmonicznej

Załóżmy, że mamy zestaw trzech wartości: liczby owoców i warzyw: 4 jabłka, 5 pomidorów, i 6 marchewek. Chcemy znaleźć średnią harmoniczną dla tych wartości.

Zastosowanie wzoru:

Obliczamy odwrotności: \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\)
Dodajemy odwrotności: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = 0.25 + 0.20 + 0.1667 = 0.6167\)
Dzielimy liczbę elementów przez sumę odwrotności: \( \frac{3}{0.6167} \approx 4.87 \)

Zatem średnia harmoniczna dla zestawu 4 jabłek, 5 pomidorów i 6 marchewek wynosi około 4.87.

Bibliografia:

Agrrawal, P., Borgman, R., Clark, J. M., & Strong, R. (2010). Using the Price-to-Earnings Harmonic Mean to Improve Firm Valuation Estimates. Journal of Financial Education, 36(3/4), 98–110. http://www.jstor.org/stable/41948650

Hryniewicz, K., Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego (Wersja SZTOS) [Słownik pojęć statystycznych]. https://sztos-it.com/