Cząstkowe eta kwadrat (η²p) i omega kwadrat (ω²) – wzory i przykład

Cząstkowe eta kwadrat i omega kwadrat to miary wielkości efektu w analizie wariancji, które pojawiają się obok zwykłego η². Typowe pytanie z pracy dyplomowej: SPSS podał mi „cząstkowe eta kwadrat” – czy mogę je opisać jako zwykłe η² i jak duży jest ten efekt naprawdę?

Kiedy stosować cząstkowe η² i ω²?

• η²p – gdy raportujesz ANOVA z dwoma lub więcej czynnikami albo z powtarzanymi pomiarami i chcesz opisać każdy efekt osobno (tak robi SPSS);
• ω² – gdy próba jest mała i chcesz ostrożniej oszacować efekt w populacji;
• zwykłe η² – gdy chcesz powiedzieć, jaką część całej zmienności wyników opisuje efekt.

Podstawy zwykłego η² znajdziesz w haśle o eta kwadrat. Przykład poniżej korzysta z danych z hasła o dwuczynnikowej ANOVA. Przy dwóch grupach zwykle wystarcza d Cohena.

Wzory na η², η²p, ω² i ω²p

\(SS_{ef}\)

suma kwadratów badanego efektu, np. metody nauki – część zmienności przypisana temu efektowi

\(SS_T\)

całkowita suma kwadratów – cała zmienność wyników wokół średniej ogólnej

\(SS_{błąd}\)

zmienność wewnątrz komórek (grup), której model nie wyjaśnia

\(df_{ef}\)

stopnie swobody efektu: liczba poziomów czynnika minus 1

\(MS_{błąd}\)

średni kwadrat błędu: \(SS_{błąd}\) podzielone przez jego stopnie swobody – „typowy szum” na jeden stopień swobody

\(N\)

łączna liczba osób

indeks p

„partial”, czyli cząstkowy: w mianowniku nie ma innych efektów z modelu

Jak przeczytać wzór na ω² na głos: „od zmienności efektu odejmij tyle szumu, ile dałby sam przypadek, i podziel przez całą zmienność powiększoną o jeden szum”.

Przykład krok po kroku

Dwunastu studentów uczyło się z notatek albo z quizów, a połowa z nich spała przed kolokwium krótko, a połowa długo. W każdej z czterech komórek są 3 osoby. Sumy kwadratów pochodzą z tabeli dwuczynnikowej ANOVA.

1. Szum. Błąd ma 8 stopni swobody (12 osób minus 4 komórki), więc \(MS_{błąd} = 8 / 8 = 1\).
2. Zwykłe η² metody. Dzielisz przez całą zmienność: 48 / 116 = 0,41. Metoda opisuje 41% wszystkich różnic w punktach.
3. Cząstkowe η²p metody. Z mianownika znikają sen (48) i interakcja (12): 48 / (48 + 8) = 48 / 56 = 0,86. To odpowiedź na pytanie „jaką część zmienności, której nie wyjaśnia sen ani interakcja, wyjaśnia metoda?”.
4. Omega kwadrat metody. Licznik: 48 − 1 · 1 = 47. Mianownik: 116 + 1 = 117. ω² = 47 / 117 = 0,40.
5. Cząstkowa omega metody. Licznik jak wyżej: 47. Mianownik: 48 + (12 − 1) · 1 = 48 + 11 = 59. ω²p = 47 / 59 = 0,80.
6. Interakcja. η² = 12 / 116 = 0,10, ale η²p = 12 / (12 + 8) = 0,60. Ta sama interakcja wygląda raz na mały, a raz na bardzo duży efekt – dlatego zawsze pisz, którą miarę podajesz.
7. ω² dla jednego czynnika. Dla trzech grup ćwiczeniowych z hasła o jednoczynnikowej ANOVA: SS_B = 42, df = 2, MS_W = 3, SS_T = 60. η² = η²p = 42 / 60 = 0,70, a ω² = (42 − 2 · 3) / (60 + 3) = 36 / 63 = 0,57.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Orientacyjne progi dla η² to 0,01 – efekt mały, 0,06 – średni i 0,14 – duży (Cohen, 1988). Zostały pomyślane dla zwykłego η² w planie jednoczynnikowym. Do η²p z planów złożonych stosuj je ostrożnie, bo η²p „puchnie”, gdy w modelu są inne silne efekty. ω² jest mniej obciążona: η² zawyża efekt w populacji, bo traktuje przypadkowe różnice między grupami jak prawdziwe. Różnica między nimi maleje, gdy próba rośnie. Przy 12 osobach i silnych efektach jest mała (0,41 i 0,40), a przy słabszym efekcie trzech grup – wyraźna (0,70 i 0,57).

Jak policzyć cząstkowe η² i ω² w R?

metoda <- factor(rep(c("Notatki", "Quizy"), each = 6))
sen    <- factor(rep(rep(c("krotki", "dlugi"), each = 3), 2))
punkty <- c(2, 3, 4, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 10, 11, 12)
model  <- aov(punkty ~ metoda * sen)

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzorów
SS <- summary(model)[[1]][["Sum Sq"]]          # 48 48 12 8
names(SS) <- c("metoda", "sen", "interakcja", "blad")
MSE <- SS["blad"] / 8; SST <- sum(SS)          # 1 i 116
eta2   <- SS[1:3] / SST
eta2_p <- SS[1:3] / (SS[1:3] + SS["blad"])
omega2 <- (SS[1:3] - 1 * MSE) / (SST + MSE)
round(rbind(eta2, eta2_p, omega2), 2)

# 2) gotowe funkcje z pakietu effectsize (bez przedziałów ufności)
library(effectsize)
data.frame(efekt  = c("metoda", "sen", "interakcja"),
           eta2   = eta_squared(model, partial = FALSE, ci = NULL)$Eta2,
           eta2_p = eta_squared(model, partial = TRUE, ci = NULL)$Eta2_partial,
           omega2 = omega_squared(model, partial = FALSE, ci = NULL)$Omega2,
           omega2_p = omega_squared(model, partial = TRUE, ci = NULL)$Omega2_partial)

Wynik w konsoli R:

       metoda  sen interakcja
eta2     0.41 0.41       0.10
eta2_p   0.86 0.86       0.60
omega2   0.40 0.40       0.09
       efekt      eta2    eta2_p     omega2  omega2_p
1     metoda 0.4137931 0.8571429 0.40170940 0.7966102
2        sen 0.4137931 0.8571429 0.40170940 0.7966102
3 interakcja 0.1034483 0.6000000 0.09401709 0.4782609

Funkcje z pakietu effectsize domyślnie liczą miary cząstkowe. Zwykłe η² i ω² dostaniesz z argumentem partial = FALSE.

Eta kwadrat czy omega kwadrat – co podać w pracy?

Jeśli Twój promotor nie ma wymagań, podaj tę miarę, którą liczy Twój program, i nazwij ją dokładnie. W SPSS to cząstkowe η² – pisz więc η²_p, a nie η². Przy małych grupach (kilka–kilkanaście osób) dodaj ω², bo lepiej szacuje efekt w populacji. Gdy chcesz porównać efekty z badaniami o innych planach, rozważ uogólnione η²_G (Olejnik i Algina, 2003; Lakens, 2013). Nigdy nie zmieniaj miary tylko dlatego, że inna daje „ładniejszą” liczbę.

Najczęstsze błędy

• Podpisywanie η²p z SPSS jako zwykłego η² – w planie 2 × 2 to może być 0,86 zamiast 0,41.
• Sumowanie η²p kilku efektów i pisanie, że „model wyjaśnia 231% zmienności”.
• Twierdzenie, że η²p jest „bardziej konserwatywne” – jest odwrotnie, to ω² jest ostrożniejsza.
• Porównywanie η²p z różnych badań, w których modele miały różne czynniki.
• Zgłaszanie ujemnej ω² jako błędu – przy bardzo słabym efekcie może wyjść poniżej zera; raportuje się ją wtedy jako 0.