Test Durbina-Watsona – wzór i przykład krok po kroku

Test Durbina-Watsona sprawdza, czy reszty modelu regresji z kolejnych pomiarów są ze sobą skorelowane (autokorelacja). Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy w danych zbieranych tydzień po tygodniu błędy modelu są od siebie niezależne?

Kiedy stosować test Durbina-Watsona?

• masz regresję liniową na danych uporządkowanych w czasie: kolejne dni, tygodnie, miesiące, lata;
• badasz jedną osobę, klasę lub firmę w wielu kolejnych pomiarach (szereg czasowy);
• kolejność wierszy w pliku ma znaczenie i nie jest przypadkowa;
• chcesz sprawdzić założenie o niezależności reszt.

Jeśli każdy wiersz to inna osoba z ankiety, a kolejność wierszy jest przypadkowa, test nie ma sensu – SPSS podaje go wtedy z przyzwyczajenia, a wynik zależy tylko od tego, jak posortowałeś plik. Gdy każdą osobę mierzysz kilka razy, zamiast regresji użyj ANOVA z powtarzanymi pomiarami albo modelu mieszanego. Sam model opisujemy w haśle o regresji liniowej, a drugie założenie o resztach – w haśle o homoskedastyczności i teście Breuscha-Pagana.

Wzór na statystykę Durbina-Watsona

\(e_t\)

reszta modelu w pomiarze numer t: prawdziwy wynik minus wynik przewidziany

\(e_{t-1}\)

reszta w pomiarze poprzednim (tydzień wcześniej)

\(e_t - e_{t-1}\)

o ile zmieniła się reszta między sąsiednimi pomiarami

\(n\)

liczba pomiarów; w liczniku jest n − 1 różnic, bo pierwszy pomiar nie ma poprzednika

\(r_1\)

autokorelacja reszt rzędu 1: korelacja każdej reszty z resztą poprzednią

\(DW\)

statystyka testu, zawsze między 0 a 4

Jak przeczytać wzór na głos: „suma kwadratów różnic między sąsiednimi resztami podzielona przez sumę kwadratów reszt”. Gdy sąsiednie reszty są podobne, różnice są małe i DW spada poniżej 2. Gdy reszty skaczą z plusa na minus, różnice są duże i DW rośnie powyżej 2.

Przykład krok po kroku

Przez 6 kolejnych tygodni zapisujesz swój wynik z cotygodniowej kartkówki (0–10 punktów). Regresja wyniku na numerze tygodnia daje trend ŷ = 2 + 1 · tydzień: co tydzień średnio punkt więcej.

1. Reszty. Odejmij przewidywanie od wyniku, np. w tygodniu 3: 3 − 5 = −2. Reszty to 2, 0, −2, −2, 0, 2: na początku i na końcu model zaniża wynik, w środku semestru go zawyża.
2. Mianownik. Suma kwadratów reszt: 4 + 0 + 4 + 4 + 0 + 4 = 16.
3. Różnice sąsiadów. Od każdej reszty (od tygodnia 2) odejmij poprzednią, np. tydzień 5: 0 − (−2) = 2. Kwadraty różnic: 4, 4, 0, 4, 4.
4. Licznik. 4 + 4 + 0 + 4 + 4 = 16.
5. DW. DW = 16 / 16 = 1,00. To wyraźnie mniej niż 2, więc reszty sąsiednich tygodni są do siebie podobne.
6. Kontrola przez autokorelację. r₁ = Σ e_t · e_t−1 / Σ e² = 4 / 16 = 0,25. Wzór przybliżony daje 2 · (1 − 0,25) = 1,50. Różnica bierze się z pierwszej i ostatniej reszty, które mają tylko po jednym sąsiedzie. Dokładnie: DW = 1,50 − (2² + 2²) / 16 = 1,50 − 0,50 = 1,00. Przy małym n przybliżenie jest więc zgrubne.
7. Wartość p. Hipoteza zerowa: brak autokorelacji. Klasyczne tablice Durbina-Watsona podają dla danego n i liczby predyktorów dwie granice, dolną d_L i górną d_U. Między nimi test jest nierozstrzygający. R oblicza p bezpośrednio dla Twoich danych: lmtest::dwtest() daje p = 0,008 (test jednostronny, autokorelacja dodatnia). Przy sześciu pomiarach jest to przybliżenie i R o tym ostrzega.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

DW = 1,00 i p = 0,008 oznaczają, że reszty sąsiednich tygodni są dodatnio skorelowane. Model z prostym trendem „nie widzi” spadku formy w środku semestru. Skutek praktyczny: błędy standardowe współczynników są zwykle zaniżone, a wartości p – zbyt optymistyczne. Nieistotny wynik nie dowodzi niezależności reszt, zwłaszcza przy kilku pomiarach.

Jak policzyć test Durbina-Watsona w R?

tydzien <- 1:6
punkty  <- c(5, 4, 3, 4, 7, 10)   # wynik kartkówki w kolejnych tygodniach
model <- lm(punkty ~ tydzien)
e <- round(resid(model), 10)      # reszty: 2 0 -2 -2 0 2

# 1) „ręcznie”: DW = Σ(e_t − e_t−1)² / Σe_t²
licznik   <- sum(diff(e)^2)       # 16
mianownik <- sum(e^2)             # 16
c(licznik = licznik, mianownik = mianownik, DW = licznik / mianownik)

# 2) gotowa funkcja: H1 – autokorelacja dodatnia
lmtest::dwtest(model)

Wynik w konsoli R:

  licznik mianownik        DW 
       16        16         1 

	Durbin-Watson test

data:  model
DW = 1, p-value = 0.008258
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Warning message:
In lmtest::dwtest(model) :
  exact p value cannot be computed (not in [0,1]), approximate p value will be used

Ostrzeżenie na końcu znaczy, że dokładnego p nie dało się obliczyć dla tak krótkiego szeregu, więc R podał przybliżenie. Funkcja car::durbinWatsonTest() liczy p metodą bootstrapu, więc jej wynik może się nieco różnić przy każdym uruchomieniu.

Autokorelacja reszt – co zrobić?

Najpierw pomyśl, czego brakuje w modelu. Fala w resztach często znaczy, że pominąłeś zmienną zmieniającą się w czasie, np. liczbę innych egzaminów w danym tygodniu. Jeśli nie da się jej dodać, użyj modelu, który uwzględnia autokorelację błędów, np. nlme::gls() z correlation = corAR1(), albo błędów standardowych Neweya-Westa. Przy kilku osobach mierzonych wielokrotnie właściwy będzie model mieszany. Zwykła korelacja Pearsona dwóch szeregów czasowych też bywa myląca – oba mogą rosnąć tylko dlatego, że mija czas.

Najczęstsze błędy

• Raportowanie DW dla danych przekrojowych z ankiety, gdzie kolejność wierszy jest przypadkowa.
• Liczenie DW na danych posortowanych według zmiennej wyjaśnianej albo predyktora – wtedy test „wykryje” sztuczną autokorelację.
• Traktowanie reguły „1,5–2,5” jako testu istotności.
• Zapominanie, że DW sprawdza tylko zależność między sąsiednimi pomiarami (rząd 1). Zależność co 7 dni albo co miesiąc wymaga innego testu, np. Breuscha-Godfreya.
• Pisanie „reszty są niezależne”, gdy wynik jest tylko nieistotny – poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji”.