CR, AVE i kryterium Fornella-Larckera – wzory i przykład

CR (rzetelność złożona, ang. composite reliability) i AVE (przeciętna wariancja wyodrębniona, ang. average variance extracted) opisują, jak dobrze pozycje kwestionariusza mierzą swój czynnik. Kryterium Fornella-Larckera sprawdza, czy dwa czynniki są od siebie wystarczająco różne. Przykładowe pytanie z pracy dyplomowej: czy skale „zaangażowanie w naukę” i „satysfakcja ze studiów” są rzetelne i mierzą dwie różne rzeczy?

Kiedy stosować CR, AVE i kryterium Fornella-Larckera?

• masz skalę z kilku pozycji i oszacowane ładunki standaryzowane z konfirmacyjnej analizy czynnikowej (CFA) albo z modelu PLS-SEM;
• chcesz opisać trafność zbieżną (pozycje mierzą wspólną cechę: AVE) i rzetelność skali (CR);
• w modelu są co najmniej dwa czynniki i chcesz sprawdzić trafność różnicową (czynniki nie mierzą tego samego).

Na etapie wstępnym, zanim w ogóle oszacujesz ładunki, sprawdź, czy dane nadają się do analizy czynnikowej – służą do tego KMO i test Bartletta. CR liczone z modelu CFA to w praktyce to samo, co omega McDonalda. Jeśli nie masz modelu czynnikowego, a tylko surowe odpowiedzi, rzetelność opisze alfa Cronbacha.

Wzory na CR, AVE i kryterium Fornella-Larckera

Na głos: „CR to kwadrat sumy ładunków podzielony przez ten sam kwadrat plus sumę błędów; AVE to średnia z kwadratów ładunków; pierwiastek z AVE każdego czynnika ma być większy niż jego korelacja z innym czynnikiem”.

\(\lambda_i\)

ładunek standaryzowany i-tej pozycji (grecka litera lambda): korelacja pozycji z czynnikiem

\(\lambda_i^2\)

jaka część wariancji pozycji pochodzi od czynnika

\(1 - \lambda_i^2\)

wariancja błędu pomiaru tej pozycji, czyli część, której czynnik nie wyjaśnia

\(k\)

liczba pozycji w skali

\(r_{AB}\)

korelacja między czynnikami A i B (z modelu, nie między sumami punktów)

\(\sqrt{AVE_A}\)

pierwiastek z AVE czynnika A; równoważnie można porównać AVE z kwadratem korelacji

Przykład krok po kroku

W ankiecie studenckiej dwie skale mają po trzy pozycje. CFA dała ładunki standaryzowane: dla skali Zaangażowanie 0,7; 0,8 i 0,9, a dla skali Satysfakcja 0,7; 0,8 i 0,6. Korelacja między czynnikami wynosi 0,60.

1. Kwadrat sumy ładunków (Zaangażowanie). 0,7 + 0,8 + 0,9 = 2,4. Podnosimy do kwadratu: 2,4 · 2,4 = 5,76. To „prawdziwa” wariancja wyniku skali.
2. Suma błędów. 0,51 + 0,36 + 0,19 = 1,06. To wariancja szumu w wyniku skali.
3. CR. 5,76 / (5,76 + 1,06) = 5,76 / 6,82 = 0,845. Około 84% wariancji wyniku skali to sygnał, a nie szum.
4. AVE. (0,49 + 0,64 + 0,81) / 3 = 1,94 / 3 = 0,647. Przeciętnie 65% wariancji każdej pozycji pochodzi od czynnika.
5. Satysfakcja. Suma ładunków: 2,1, jej kwadrat 4,41. Błędy: 1,51. CR = 4,41 / (4,41 + 1,51) = 4,41 / 5,92 = 0,745. AVE = 1,49 / 3 = 0,497.
6. Pierwiastki z AVE. \(\sqrt{0{,}647} = 0{,}804\) oraz \(\sqrt{0{,}497} = 0{,}705\).
7. Fornell-Larcker. Korelacja czynników to 0,60. Obie wartości √AVE (0,804 i 0,705) są od niej większe, więc kryterium jest spełnione. To samo w kwadratach: 0,60² = 0,36 jest mniejsze od obu AVE (0,647 i 0,497).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Najczęściej przyjmowane progi to CR ≥ 0,70 oraz AVE ≥ 0,50 (Fornell i Larcker, 1981; Hair i in., 2019). AVE równe 0,50 oznacza, że pozycje mają przeciętnie tyle samo sygnału, co szumu. Zaangażowanie spełnia oba progi. Satysfakcja ma dobrą rzetelność (CR = 0,745), ale AVE = 0,497 leży na samej granicy. Uczciwie napisz o tym w pracy i wskaż najsłabszą pozycję (s3). Nie zaokrąglaj 0,497 do „0,50” tylko po to, żeby przejść próg.

Jak policzyć CR i AVE w R?

lam_Z <- c(0.7, 0.8, 0.9)    # ładunki standaryzowane: Zaangażowanie
lam_S <- c(0.7, 0.8, 0.6)    # ładunki standaryzowane: Satysfakcja

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzorów
CR  <- function(l) sum(l)^2 / (sum(l)^2 + sum(1 - l^2))
AVE <- function(l) mean(l^2)
round(c(CR_Z = CR(lam_Z), AVE_Z = AVE(lam_Z), CR_S = CR(lam_S), AVE_S = AVE(lam_S)), 3)
round(sqrt(c(Z = AVE(lam_Z), S = AVE(lam_S))), 3)   # porównaj z korelacją 0.60

# 2) to samo z modelu CFA (lavaan + semTools) na macierzy korelacji,
#    która dokładnie odpowiada tym ładunkom i korelacji czynników 0.60
L <- cbind(c(lam_Z, 0, 0, 0), c(0, 0, 0, lam_S))
R <- L %*% matrix(c(1, 0.6, 0.6, 1), 2) %*% t(L); diag(R) <- 1
dimnames(R) <- list(c("z1", "z2", "z3", "s1", "s2", "s3"), c("z1", "z2", "z3", "s1", "s2", "s3"))
fit <- lavaan::cfa("Z =~ z1 + z2 + z3
                   S =~ s1 + s2 + s3", sample.cov = R, sample.nobs = 200)
round(unlist(semTools::compRelSEM(fit)), 3)   # CR (omega)
semTools::AVE(fit)

Wynik w konsoli R:

 CR_Z AVE_Z  CR_S AVE_S 
0.845 0.647 0.745 0.497 
    Z     S 
0.804 0.705 
    Z     S 
0.845 0.745 
    Z     S 
0.647 0.497 

Rachunek „ręczny” i pakiet semTools dają te same liczby. W prawdziwej analizie zamiast macierzy R podajesz surowe dane: lavaan::cfa(model, data = dane).

Fornell-Larcker czy HTMT – co wybrać?

Kryterium Fornella-Larckera jest proste, ale ma słabość. Henseler, Ringle i Sarstedt (2015) pokazali w symulacjach, że często nie wykrywa ono problemu, gdy dwa czynniki są w rzeczywistości prawie tym samym. Szczególnie dotyczy to sytuacji, w której ładunki są podobne i niezbyt wysokie. Dlatego dziś zaleca się podawać obok niego wskaźnik HTMT (zwykle z progiem 0,85 lub 0,90). Pamiętaj też, że w modelowaniu PLS-SEM ładunki pochodzą z modelu kompozytowego. Bywają wtedy wyższe niż w CFA, a CR i AVE wychodzą korzystniej. W pracy zawsze napisz, z jakiego modelu pochodzą ładunki.

Najczęstsze błędy

• Liczenie CR i AVE z ładunków niestandaryzowanych – wzory wymagają ładunków standaryzowanych.
• Porównywanie AVE (zamiast √AVE) z samą korelacją – albo √AVE z korelacją, albo AVE z kwadratem korelacji.
• Korelowanie sum punktów zamiast korelacji czynników z modelu; sumy zawierają błąd pomiaru i dają niższe korelacje.
• Podawanie tylko kryterium Fornella-Larckera bez HTMT.
• Usuwanie pozycji wyłącznie po to, żeby podnieść AVE, bez zastanowienia się nad treścią skali.