Epsilon kwadrat dla testu Kruskala-Wallisa – wzór i przykład

Epsilon kwadrat (ε²) to wielkość efektu dla testu Kruskala-Wallisa: mówi, jak mocno grupy różnią się rangami. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: test Kruskala-Wallisa wyszedł, recenzent prosi o wielkość efektu – jaką miarę podać i jak ją policzyć z samego H?

Kiedy stosować epsilon kwadrat?

• porównujesz trzy lub więcej grup różnych osób testem Kruskala-Wallisa;
• chcesz do wyniku H i p dodać informację, jak duża jest różnica, a nie tylko czy jest istotna;
• zmienna jest porządkowa (np. ocena zajęć 1–5) albo rozkłady są skośne – czyli z tych samych powodów, dla których wybrałeś test rangowy zamiast ANOVA.

To rangowy odpowiednik eta kwadrat z jednoczynnikowej ANOVA. Dla par grup (np. po teście Dunna) zwykle podaje się wielkość efektu r. Przegląd miar znajdziesz we wpisie wielkość efektu – jak liczyć i raportować.

Wzór na epsilon kwadrat

\(H\)

statystyka testu Kruskala-Wallisa – to ją podaje każdy program

\(N\)

liczba wszystkich osób we wszystkich grupach razem

\(k\)

liczba grup

\(R_j\)

suma rang w grupie \(j\); rangi nadajesz wszystkim osobom razem, od najmniejszego wyniku do największego

\(n_j\)

liczba osób w grupie \(j\)

\((N^2 - 1)/(N + 1)\)

zapis spotykany w artykułach (Tomczak i Tomczak, 2014); po skróceniu to dokładnie \(N - 1\), bo \(N^2 - 1 = (N - 1)(N + 1)\)

Jak przeczytać ten wzór na głos: „epsilon kwadrat to H podzielone przez liczbę osób minus jeden”. Oba zapisy w ramce dają ten sam wynik, więc nie daj się zmylić, gdy w dwóch źródłach widzisz różne wzory.

Przykład krok po kroku

Trzy grupy ćwiczeniowe po 3 osoby napisały kolokwium. Punkty: A = 1, 3, 5; B = 2, 4, 6; C = 7, 8, 9. To ten sam zbiór, co w hasłach o ANOVA, teście Kruskala-Wallisa i teście Dunna. Wyniki to liczby od 1 do 9 bez powtórzeń, więc ranga każdej osoby równa się jej wynikowi.

1. Rangi i sumy rang. A: 1 + 3 + 5 = 9. B: 2 + 4 + 6 = 12. C: 7 + 8 + 9 = 24. Kontrola: 9 + 12 + 24 = 45, a suma liczb od 1 do 9 to też 45.
2. Suma R² / n. 27 + 48 + 192 = 267.
3. Statystyka H. Ułamek przed sumą: 12 / (9 · 10) = 12 / 90 = 0,1333. Mnożymy: 0,1333 · 267 = 35,6 (dokładnie: 12 · 267 / 90 = 3204 / 90 = 35,6). Odejmujemy 3 · (9 + 1) = 30: H = 35,6 − 30 = 5,6.
4. Wartość p. H porównujemy z rozkładem chi-kwadrat o k − 1 = 2 stopniach swobody. Wartość krytyczna z tablic dla α = 0,05 to 5,991 (w R: qchisq(0.95, 2)). Nasze 5,60 jest mniejsze, więc p > 0,05; dokładnie p = 0,061 (w R: pchisq(5.6, 2, lower.tail = FALSE)).
5. Epsilon kwadrat. ε² = 5,6 / (9 − 1) = 5,6 / 8 = 0,70. Drugi zapis: (81 − 1) / (9 + 1) = 80 / 10 = 8, więc znów 5,6 / 8 = 0,70.
6. Sprawdzenie „od środka”. Zmienność rang wokół średniej 5: (1 − 5)² + (2 − 5)² + … + (9 − 5)² = 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 60. Część między grupami to 42 (ostatnia kolumna tabeli). 42 / 60 = 0,70 – to samo ε². Czyli ε² to po prostu eta kwadrat policzone na rangach.
7. Dla porównania η²_H. Pakiet rstatix i aplikacja SZTOS podają inną miarę: η²_H = (H − k + 1) / (N − k) = (5,6 − 3 + 1) / (9 − 3) = 3,6 / 6 = 0,60.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

ε² = 0,70 znaczy, że przynależność do grupy wiąże się z 70% zmienności rang. To dużo. Dla ε² nie ma osobnych, ugruntowanych progów. Najczęściej przenosi się progi dla eta kwadrat: 0,01 – efekt mały, 0,06 – średni, 0,14 – duży (Cohen, 1988); tak robi np. pakiet effectsize. Traktuj je ostrożnie. Zwróć też uwagę, że wynik nie jest istotny (p = 0,061). Duży efekt przy braku istotności to typowy sygnał zbyt małej próby: przy 3 osobach w grupie test ma bardzo małą moc. Nie pisz więc, że „grupy się nie różnią”, tylko że nie wykazano istotnej różnicy.

Jak policzyć epsilon kwadrat w R?

# Trzy grupy ćwiczeniowe – punkty z kolokwium
punkty <- c(1, 3, 5,  2, 4, 6,  7, 8, 9)
grupa  <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 3))
N <- length(punkty); k <- nlevels(grupa)

# 1) „ręcznie” według wzoru
rangi <- rank(punkty)
R <- tapply(rangi, grupa, sum)                          # sumy rang: 9, 12, 24
H <- 12 / (N * (N + 1)) * sum(R^2 / 3) - 3 * (N + 1)    # statystyka H
eps2  <- H / (N - 1)                                    # epsilon kwadrat
eps2b <- H / ((N^2 - 1) / (N + 1))                      # ten sam wzór, inny zapis
eta2H <- (H - k + 1) / (N - k)                          # eta kwadrat H
round(c(H = H, eps2 = eps2, eps2b = eps2b, eta2H = eta2H), 3)

# 2) gotowe funkcje
kruskal.test(punkty ~ grupa)
effectsize::rank_epsilon_squared(punkty ~ grupa, ci = NULL)
rstatix::kruskal_effsize(data.frame(punkty, grupa), punkty ~ grupa)

Wynik w konsoli R:

    H  eps2 eps2b eta2H 
  5.6   0.7   0.7   0.6 

	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  punkty by grupa
Kruskal-Wallis chi-squared = 5.6, df = 2, p-value = 0.06081

Epsilon2 (rank)
---------------
0.70           

# A tibble: 1 × 5
  .y.        n effsize method  magnitude
* <chr>  <int>   <dbl> <chr>   <ord>    
1 punkty     9     0.6 eta2[H] large    

Rachunek ręczny i effectsize::rank_epsilon_squared() dają ε² = 0,70. rstatix::kruskal_effsize() zwraca η²_H = 0,60 – to inna miara, choć w wydruku też nazywa się „effsize”. Ten sam wynik ε² = 0,70 podaje rcompanion::epsilonSquared().

Epsilon kwadrat czy eta kwadrat H – co podać?

Obie miary są poprawne, ale nie wolno ich mieszać. ε² (Tomczak i Tomczak, 2014) to eta kwadrat policzone na rangach. η²_H dodatkowo odejmuje od H liczbę grup minus jeden, więc daje wartości trochę niższe – podobnie jak omega kwadrat jest niższa od eta kwadrat w ANOVA. Przy dużych próbach różnica jest niewielka, przy małych wyraźna (u nas 0,70 wobec 0,60). Wybierz jedną miarę, napisz jej nazwę i wzór albo funkcję, którą ją policzyłeś. Jeśli porównujesz wynik z innym badaniem, sprawdź, którą miarę podali autorzy.

Najczęstsze błędy

• Podpisywanie η²_H z rstatix albo z aplikacji SZTOS jako „ε²” – to dwie różne liczby.
• Dzielenie H przez N zamiast przez N − 1.
• Uznawanie ε² za „procent różnicy median” – miara dotyczy rang, a nie median.
• Ocenianie efektu wyłącznie po progach i pomijanie liczebności grup.
• Pisanie „brak efektu”, gdy p > 0,05, mimo dużego ε² – poprawnie: nie wykazano istotnej różnicy.