Interakcja w regresji (moderacja) – wzór i przykład krok po kroku

Interakcja w regresji sprawdza, czy siła związku między dwiema zmiennymi zależy od trzeciej zmiennej, zwanej moderatorem. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy dodatkowa godzina nauki daje tyle samo punktów studentom mało i bardzo zmotywowanym?

Kiedy stosować interakcję w regresji?

• masz hipotezę typu „związek X z Y jest silniejszy (słabszy) u osób z wysokim M”;
• predyktor X i moderator M są ilościowe albo jeden z nich jest dwuwartościowy (np. płeć zakodowana 0/1);
• zmienna wyjaśniana Y jest ilościowa i spełnia założenia regresji liniowej.

Gdy oba czynniki są grupami (np. metoda nauki i długość snu), ten sam pomysł nazywa się interakcją w dwuczynnikowej ANOVA. Jeśli pytasz nie „kiedy?”, ale „przez co?” X wpływa na Y, potrzebujesz mediacji – zobacz efekt pośredni i test Sobela.

Wzór modelu z interakcją

\(x\)

predyktor, np. liczba godzin nauki

\(m\)

moderator, np. motywacja na skali 1–3

\(x m\)

iloczyn predyktora i moderatora – nowa kolumna danych, która „przechowuje” interakcję

\(b_0\)

przewidywany wynik, gdy x = 0 i m = 0

\(b_1\)

nachylenie dla x, gdy m = 0 (efekt warunkowy, nie „główny”)

\(b_2\)

nachylenie dla m, gdy x = 0

\(b_3\)

o ile zmienia się nachylenie dla x, gdy m rośnie o 1 – to jest właściwa miara interakcji

\(b_1 + b_3 m\)

proste nachylenie (ang. simple slope): efekt godzin przy wybranym poziomie motywacji

\(s^2,\ \mathrm{cov}\)

wariancje i kowariancja oszacowań współczynników (z macierzy vcov() w R)

Jak przeczytać wzór na głos: „każda godzina nauki daje b1 punktów plus b3 punktów za każdy stopień motywacji”.

Przykład krok po kroku

Dwanaścioro studentów podało liczbę godzin nauki (1–4) i motywację (1 – niska, 2 – średnia, 3 – wysoka). R dopasował model: ŷ = 0 + 1 · godziny + 1 · motywacja + 1 · godziny · motywacja. Tabela pokazuje, że te współczynniki rzeczywiście dobrze odtwarzają dane.

1. Kolumna iloczynu. Dla każdej osoby mnożysz godziny przez motywację, np. 3 · 2 = 6. Model traktuje ją jak trzeci predyktor.
2. Współczynniki. R podaje b0 = 0, b1 = 1, b2 = 1 i b3 = 1. Interakcja: b3 = 1, SE = 0,387, t = 1 / 0,387 = 2,58, df = 12 − 4 = 8, p = 0,033. Wartość krytyczna t dla α = 0,05 i df = 8 to 2,306 (w R: qt(0.975, 8)).
3. Proste nachylenia. Wstaw motywację do b1 + b3m: przy m = 1: 1 + 1 · 1 = 2 punkty za godzinę; przy m = 2: 1 + 1 · 2 = 3; przy m = 3: 1 + 1 · 3 = 4.
4. Błąd standardowy nachylenia. Z macierzy vcov(): \(s^2_{b_1} = 0{,}70\), \(s^2_{b_3} = 0{,}15\), cov = −0,30. Przy m = 1: 0,70 + 1 · 0,15 + 2 · 1 · (−0,30) = 0,25; √0,25 = 0,5; t = 2 / 0,5 = 4,00; p = 0,004. Przy m = 3: 0,70 + 9 · 0,15 − 6 · 0,30 = 0,25; t = 4 / 0,5 = 8,00; p < 0,001.
5. Centrowanie. Odejmij średnie: x − 2,5 i m − 2. Nowe b1 = 1 + 1 · 2 = 3 (efekt godzin przy przeciętnej motywacji), nowe b2 = 1 + 1 · 2,5 = 3,5, nowe b0 = 0 + 2,5 + 2 + 1 · 2,5 · 2 = 9,5 (średnia punktów). b3 = 1 się nie zmienia.
6. Ile dodaje interakcja? R² modelu bez iloczynu to 0,914, a z iloczynem 0,953. Przyrost ΔR² = 10 / 255 = 0,039 – iloczyn zmniejszył sumę kwadratów reszt z 22 do 12.

Nieskorygowany wydruk mówi: godziny b1 = 1, p = 0,266. Kusi, by napisać „godziny nauki nie mają istotnego efektu”. To błąd. b1 to efekt godzin przy motywacji 0, a takiej osoby w danych nie ma. Przy każdej istniejącej motywacji efekt godzin jest wyraźny i istotny.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Najpierw opisz interakcję (b3 i jej p), potem proste nachylenia przy kilku poziomach moderatora. Najczęściej wybiera się niski i wysoki poziom jako średnią ± 1 odchylenie standardowe (Aiken i West, 1991). Tutaj SD motywacji wynosi 0,85, więc to m = 1,15 i m = 2,85, a nachylenia 2,15 i 3,85. Przy skali tylko z trzema wartościami prościej podać nachylenia dla 1, 2 i 3. Współczynników b1 i b2 nie nazywaj „efektami głównymi”. W modelu z interakcją są to efekty warunkowe: b1 przy m = 0, b2 przy x = 0. Jeśli chcesz, by miały sens, wycentruj zmienne – wtedy oznaczają efekt przy średniej drugiej zmiennej.

Jak policzyć interakcję w R?

godziny   <- rep(1:4, times = 3)
motywacja <- rep(1:3, each = 4)
punkty    <- c(4, 4, 6, 10,  4, 9, 12, 13,  8, 10, 14, 20)

# model z interakcją: punkty = b0 + b1*godziny + b2*motywacja + b3*godziny*motywacja
model <- lm(punkty ~ godziny * motywacja)
round(coef(summary(model)), 3)

# 1) „ręcznie”: proste nachylenia b1 + b3*m i ich błędy standardowe
b <- coef(model); V <- vcov(model)
m <- c(1, 2, 3)
nachylenie <- b[2] + b[4] * m
SE <- sqrt(V[2, 2] + m^2 * V[4, 4] + 2 * m * V[2, 4])
t  <- nachylenie / SE
round(cbind(m, nachylenie, SE, t, p = 2 * pt(-abs(t), df = 8)), 3)

# 2) centrowanie: te same dane, „efekty główne” przy średnich
gc <- godziny - mean(godziny); mc <- motywacja - mean(motywacja)
round(coef(lm(punkty ~ gc * mc)), 2)

# 3) gotowa funkcja: proste nachylenia z pakietu emmeans
suppressPackageStartupMessages(library(emmeans))
emtrends(model, ~ motywacja, var = "godziny", at = list(motywacja = 1:3))

Wynik w konsoli R:

                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)              0      2.291   0.000    1.000
godziny                  1      0.837   1.195    0.266
motywacja                1      1.061   0.943    0.373
godziny:motywacja        1      0.387   2.582    0.033
     m nachylenie    SE     t     p
[1,] 1          2 0.500 4.000 0.004
[2,] 2          3 0.316 9.487 0.000
[3,] 3          4 0.500 8.000 0.000
(Intercept)          gc          mc       gc:mc 
        9.5         3.0         3.5         1.0 
 motywacja godziny.trend    SE df lower.CL upper.CL
         1             2 0.500  8    0.847     3.15
         2             3 0.316  8    2.271     3.73
         3             4 0.500  8    2.847     5.15

Confidence level used: 0.95 

Zapis godziny * motywacja w lm() dodaje oba predyktory i ich iloczyn. Funkcja emtrends() z pakietu emmeans liczy proste nachylenia razem z przedziałami ufności.

Czy trzeba centrować zmienne przed interakcją?

Centrowanie nie zmienia b3, jego p ani R² modelu – zmienia tylko znaczenie b0, b1 i b2. Po centrowaniu b1 = 3 to efekt godzin przy średniej motywacji, a przed centrowaniem b1 = 1 to efekt przy motywacji 0. Centrowanie zmniejsza też korelację iloczynu z predyktorami, przez co VIF spada, ale nie „naprawia” żadnego problemu z danymi. Centruj więc wtedy, gdy zero na skali nie ma sensu – a przy skalach 1–5 czy 1–3 prawie nigdy go nie ma.

Najczęstsze błędy

• Nazywanie b1 i b2 „efektami głównymi” w modelu z interakcją i pisanie „godziny nie mają wpływu”, bo b1 jest nieistotne.
• Opisanie samej istotności b3 bez prostych nachyleń – nie wiadomo wtedy, w którą stronę działa moderacja.
• Testowanie interakcji przez podział moderatora medianą na dwie grupy – tracisz informację i moc.
• Liczenie nachyleń dla wartości moderatora spoza danych (np. m = 0 przy skali 1–3).
• Mylenie moderacji (kiedy działa X?) z mediacją (przez co działa X?).