W Kendalla (współczynnik zgodności) – wzór i przykład krok po kroku

W Kendalla to współczynnik zgodności od 0 do 1, który mówi, na ile kilka osób ustawia te same rzeczy w tej samej kolejności. Podaje się go jako wielkość efektu po teście Friedmana albo jako miarę zgodności sędziów. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy u wszystkich badanych samoocena rosła w tym samym porządku – przed, po i miesiąc po warsztatach?

Kiedy stosować W Kendalla?

• jako wielkość efektu po teście Friedmana – te same osoby zbadano trzy lub więcej razy;
• jako miarę zgodności kilku oceniających, którzy układają te same obiekty w ranking (np. trzech promotorów porządkuje pięć prac);
• gdy dane są co najmniej porządkowe, a rozkład nie musi być normalny.

Sam test istotności opisuje hasło o teście Friedmana. Zgodność tylko dwóch rankingów mierzy tau Kendalla albo rho Spearmana. Przy dwóch pomiarach wielkość efektu opisuje r w testach nieparametrycznych. Gdy oceny są liczbami na skali ilościowej, a nie rankingiem, lepszy bywa współczynnik ICC.

Wzór na W Kendalla

\(n\)

liczba osób (wierszy) – badanych albo oceniających

\(k\)

liczba pomiarów albo ocenianych obiektów (kolumn)

\(R_j\)

suma rang w j-tej kolumnie; rangi od 1 do k nadajesz osobno w wierszu każdej osoby

\(\bar{R}\)

średnia suma rang, zawsze równa \(n(k+1)/2\)

\(S\)

suma kwadratów odchyleń sum rang od średniej – im większa, tym bardziej kolumny się różnią

\(n^2(k^3 - k)/12\)

największa możliwa wartość S, gdy wszyscy mają identyczny porządek

\(\chi^2_F\)

statystyka testu Friedmana dla tych samych danych

Jak przeczytać wzór na głos: „W to rozrzut sum rang podzielony przez największy rozrzut, jaki w ogóle mógłby się zdarzyć”.

Przykład krok po kroku

Te same dane co w haśle o teście Friedmana: czworo studentów oceniło swoją wiedzę ze statystyki (1–10) przed warsztatami, zaraz po nich i miesiąc później. Mamy n = 4 osoby i k = 3 pomiary.

1. Rangi w wierszach. U każdej osoby najniższy wynik dostaje 1, a najwyższy 3. Tylko osoba 3 miała najwyższy wynik tuż po warsztatach (8), a nie miesiąc później (7).
2. Sumy rang. Dodaj rangi w kolumnach: 1 + 1 + 1 + 1 = 4, 2 + 2 + 3 + 2 = 9, 3 + 3 + 2 + 3 = 11. Kontrola: 4 + 9 + 11 = 24.
3. Średnia suma rang. \(\bar{R} = n(k+1)/2 = 4 \cdot 4 / 2 = 8\). Tyle dostałaby każda kolumna, gdyby porządki były zupełnie przypadkowe.
4. S. Odchylenia: −4, 1 i 3. Kwadraty: 16, 1 i 9. S = 26.
5. Maksymalne S. \(n^2(k^3 - k)/12 = 16 \cdot (27 - 3) / 12 = 16 \cdot 24 / 12 = 32\). Tyle wyszłoby przy sumach rang 4, 8 i 12.
6. W. \(W = 12 \cdot 26 / (16 \cdot 24) = 312 / 384 = 0{,}8125 \approx 0{,}81\). To samo co 26 / 32.
7. Kontrola przez test Friedmana. Z hasła o teście Friedmana χ²_F = 6,50, więc W = 6,5 / (4 · 2) = 6,5 / 8 = 0,81.
8. Istotność. χ² = n(k − 1)W = 4 · 2 · 0,8125 = 6,50 przy df = k − 1 = 2. Wartość krytyczna z tablic χ² dla α = 0,05 to 5,99 (w R: qchisq(0.95, 2)). 6,50 > 5,99, więc p < 0,05: przybliżone p = 0,039, a dokładne p = 0,042.
9. Średnia korelacja osób. \(\bar{r}_s = (nW - 1)/(n - 1) = (4 \cdot 0{,}8125 - 1) / 3 = 2{,}25 / 3 = 0{,}75\). Przeciętna para osób zgadza się co do porządku pomiarów w stopniu rho = 0,75.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

W = 0,81 oznacza wysoką zgodność: prawie wszyscy badani mieli ten sam porządek pomiarów. Dla W często stosuje się progi przejęte od r: 0,10 – efekt mały, 0,30 – średni, 0,50 – duży (Cohen, 1988; tak robi m.in. pakiet rstatix). W nie jest jednak procentem wyjaśnionej zmienności – nie pisz, że „pomiar wyjaśnia 81% zmienności”. Przy zgodności sędziów nie ma jednej granicy „dobrej” zgodności. Opisz W słowami i porównaj z podobnymi badaniami.

Jak policzyć W Kendalla w R?

# wiersze = osoby (m = 4), kolumny = pomiary (k = 3)
wyniki <- matrix(c(1, 2, 6,
                   2, 3, 7,
                   3, 8, 7,
                   6, 7, 8), nrow = 4, byrow = TRUE,
                 dimnames = list(NULL, c("przed", "po", "miesiac")))

# 1) „ręcznie”: rangi w wierszach, sumy rang, S i W
rangi <- t(apply(wyniki, 1, rank))
R <- colSums(rangi)                             # 4 9 11
S <- sum((R - mean(R))^2)                       # 26
m <- 4; k <- 3
W <- 12 * S / (m^2 * (k^3 - k))                 # 0.8125
chi2 <- m * (k - 1) * W                         # 6.5
c(S = S, W = W, chi2 = chi2, p = pchisq(chi2, k - 1, lower.tail = FALSE))

# 2) gotowe funkcje: W z testu Friedmana i z pakietu effectsize
ft <- friedman.test(wyniki)
unname(ft$statistic) / (m * (k - 1))            # W = chi2_F / (N(k - 1))
suppressPackageStartupMessages(library(effectsize))
kendalls_w(wyniki, ci = NULL)

Wynik w konsoli R:

          S           W        chi2           p 
26.00000000  0.81250000  6.50000000  0.03877421 
[1] 0.8125
Kendall's W
-----------
0.81       

Funkcja kendalls_w() z pakietu effectsize traktuje wiersze jako osoby (oceniających), a kolumny jako pomiary (oceniane obiekty).

W Kendalla przy ocenianiu przez sędziów – jak ustawić dane?

To ten sam wzór, tylko z inną nazwą wierszy i kolumn. Wiersze to sędziowie (np. promotorzy), a kolumny – oceniane obiekty (np. prace). Każdy sędzia nadaje rangi od 1 do k obiektom, a W mówi, na ile ich rankingi się pokrywają. Częsty błąd to odwrócenie tabeli: rangi muszą być nadawane w obrębie jednego sędziego. Gdy sędzia daje dwóm pracom tę samą ocenę, dostają średnią rangę, a programy dodają do mianownika poprawkę na remisy – wtedy W liczone ręcznie bez poprawki wyjdzie trochę niższe.

Najczęstsze błędy

• Interpretowanie W jako procentu wyjaśnionej zmienności.
• Nadawanie rang wszystkim wynikom razem zamiast osobno w wierszu każdej osoby.
• Odwrócenie wierszy i kolumn – W policzone dla złej orientacji tabeli to zupełnie inna liczba.
• Pisanie „W = 0,81, więc różnice są istotne” – o istotności decyduje test (χ² i p), a W opisuje siłę.
• Liczenie W przy dwóch kolumnach zamiast prostej korelacji rang.