Wartość własna i kryterium Kaisera – wzór i przykład

Wartość własna mówi, ile wariancji pozycji kwestionariusza „zbiera” jedna składowa lub jeden czynnik. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ile czynników wyodrębnić z czterech pytań o stres przed sesją i czy wystarczy reguła „wartość własna większa od 1”?

Kiedy stosować wartości własne i kryterium Kaisera?

• robisz analizę głównych składowych (PCA) albo eksploracyjną analizę czynnikową (EFA) i musisz zdecydować, ile czynników wyodrębnić;
• chcesz podać, jaki procent wariancji pozycji wyjaśniają kolejne składowe (tabela „wyjaśniona wariancja”);
• masz macierz korelacji co najmniej trzech pozycji, które wcześniej sprawdziłeś miarą KMO i testem Bartletta.

Kryterium Kaisera traktuj jako pierwszą, orientacyjną wskazówkę. Dokładniejszym sposobem jest analiza równoległa Horna, a oba podejścia porównuje wpis Ile czynników? Wykres osypiska i analiza równoległa. Gdy liczba czynników jest już ustalona, przechodzisz do ładunków czynnikowych.

Wzór na wartość własną

Na głos: „wartości własne to takie liczby lambda, dla których wyznacznik macierzy korelacji pomniejszonej o lambda na przekątnej jest równy zeru; razem sumują się do liczby pozycji, a każda podzielona przez liczbę pozycji daje udział w wariancji”.

\(R\)

macierz korelacji pozycji (na przekątnej same jedynki)

\(\lambda_k\)

k-ta wartość własna (lambda): ile wariancji leży wzdłuż k-tej osi; porządkujemy je od największej

\(I\)

macierz jednostkowa: jedynki na przekątnej, zera poza nią; \(R - \lambda I\) to po prostu R z liczbą λ odjętą od każdej jedynki

\(\det\)

wyznacznik macierzy; dla macierzy 2×2 to iloczyn liczb na przekątnej minus iloczyn liczb poza nią

\(p\)

liczba pozycji (pytań); każda standaryzowana pozycja ma wariancję 1, więc razem jest p „porcji” wariancji

\(r\)

korelacja między pozycjami (we wzorach skróconych – jednakowa dla każdej pary)

\(\lambda > 1\)

kryterium Kaisera: zostawiamy tylko składowe, które zbierają więcej wariancji niż jedna pozycja

Przykład krok po kroku

Te same dane co w haśle o KMO: cztery pozycje skali „stres przed sesją”, każda para koreluje na poziomie r = 0,50. Zaczniemy od dwóch pozycji, bo wtedy wszystko liczy się na kartce.

1. Dwie pozycje – wyznacznik. Od jedynek na przekątnej odejmujemy λ: \(\det(R - \lambda I) = (1 - \lambda)(1 - \lambda) - 0{,}5 \cdot 0{,}5 = (1 - \lambda)^2 - 0{,}25\). Szukamy λ, dla których to jest zero.
2. Rozwiązanie. \((1 - \lambda)^2 = 0{,}25\), więc 1 − λ = 0,5 albo 1 − λ = −0,5. Stąd λ₁ = 1 + 0,5 = 1,5 i λ₂ = 1 − 0,5 = 0,5. Suma: 1,5 + 0,5 = 2, czyli tyle, ile pozycji.
3. Co to znaczy na wykresie. Wynik na osi ukośnej to \((z_1 + z_2)/\sqrt{2}\). Jego wariancja: (1 + 1 + 2 · 0,5) / 2 = 3 / 2 = 1,5. To dokładnie pierwsza wartość własna (Rys. 1).
4. Cztery pozycje – wzór skrócony. Przy jednakowych korelacjach: λ₁ = 1 + (4 − 1) · 0,5 = 1 + 3 · 0,5 = 1 + 1,5 = 2,5. Pozostałe trzy: 1 − 0,5 = 0,5.
5. Sprawdzenie bez wzoru. Mnożymy R przez wektor v = (0,5; 0,5; 0,5; 0,5). Pierwszy wiersz: 1 · 0,5 + 0,5 · 0,5 + 0,5 · 0,5 + 0,5 · 0,5 = 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,25 = 1,25. To samo w każdym wierszu, a 1,25 = 2,5 · 0,5. Wektor tylko się wydłużył 2,5 raza, więc 2,5 jest wartością własną.
6. Suma kontrolna. 2,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 4 = p. Tak jest zawsze, bo suma wartości własnych równa się sumie jedynek na przekątnej.
7. Procent wariancji. 2,5 / 4 = 0,625, czyli 62,5%. Każda z pozostałych: 0,5 / 4 = 0,125, czyli 12,5%. Narastająco: 62,5; 75,0; 87,5; 100%.
8. Kryterium Kaisera. Tylko 2,5 jest większe od 1. Zostawiamy jedną składową, która wyjaśnia 62,5% wariancji czterech pozycji.

Drugi przykład, z wpisu Analiza czynnikowa – przykład: sześć pozycji (trzy o stresie, trzy o motywacji). Wartości własne to 2,43; 1,34; 0,71; 0,59; 0,50 i 0,43. Dwie przekraczają 1, więc kryterium Kaisera wskazuje dwa czynniki. Razem wyjaśniają (2,431 + 1,342) / 6 = 3,773 / 6 = 0,629, czyli 62,9% wariancji.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Wartość własna 2,5 oznacza, że jedna składowa zbiera tyle wariancji, ile dwie i pół pozycji. Kaiser (1960), rozwijając wcześniejszą myśl Guttmana (1954), uznał, że składowa warta zachowania musi wyjaśniać więcej niż jedna pozycja, czyli mieć λ > 1. Reguła jest prosta, ale ma poważne wady. Próg jest sztywny: 1,01 przechodzi, a 0,99 już nie, choć różnica jest przypadkowa. Przy wielu pozycjach i małej próbie reguła zwykle zawyża liczbę czynników. Rys. 2 pokazuje, że nawet w czystym szumie losowym kilka wartości własnych wychodzi powyżej 1. Bywa też, że zaniża liczbę czynników przy niewielu pozycjach. Wreszcie dotyczy ona wartości własnych pełnej macierzy korelacji, a nie wartości z wydruku samej analizy czynnikowej.

Jak policzyć wartości własne w R?

R <- matrix(0.5, 4, 4); diag(R) <- 1      # 4 pozycje skali stresu, każda para r = 0.5
p <- ncol(R)

# 1) „ręcznie”: wzór dla jednakowych korelacji
lambda1 <- 1 + (p - 1) * 0.5               # 2.5
lambda_reszta <- 1 - 0.5                   # 0.5 (trzy razy)
t(R %*% rep(0.5, 4))                       # R·v = 1.25 = 2.5 · 0.5, więc v = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5)

# 2) to samo funkcją eigen()
ev <- eigen(R)$values
rbind(lambda = ev, proc = 100 * ev / p, skumul = cumsum(100 * ev / p))
sum(ev)                                    # suma = liczba pozycji
sum(ev > 1)                                # kryterium Kaisera: 1 czynnik
eigen(matrix(c(1, 0.5, 0.5, 1), 2))$values # macierz 2×2: 1 ± r

# 3) drugi przykład: 6 pozycji (stres S1–S3, motywacja M1–M3)
r <- c(.56, .48, -.26, -.19, -.16, .42, -.22, -.17, -.14, -.19, -.14, -.12, .48, .40, .30)
R6 <- diag(6); R6[lower.tri(R6)] <- r; R6 <- R6 + t(R6) - diag(6)
round(eigen(R6)$values, 2); sum(eigen(R6)$values > 1)

Wynik w konsoli R:

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.25 1.25 1.25 1.25
       [,1] [,2] [,3]  [,4]
lambda  2.5  0.5  0.5   0.5
proc   62.5 12.5 12.5  12.5
skumul 62.5 75.0 87.5 100.0
[1] 4
[1] 1
[1] 1.5 0.5
[1] 2.43 1.34 0.71 0.59 0.50 0.43
[1] 2

Na surowych danych wpisujesz eigen(cor(dane))$values. Funkcja psych::principal() podaje te same liczby w polu $values. Jeśli w wydruku widzisz wartości mniejsze, sprawdź, czy nie są to wartości z analizy czynnikowej, liczone ze wspólnościami na przekątnej.

Wykres osypiska czy kryterium Kaisera – co wybrać?

Najlepiej żadnego z nich w pojedynkę. Wykres osypiska (Cattell, 1966) pokazuje wartości własne od największej do najmniejszej i szukasz na nim „łokcia”, gdzie linia się wypłaszcza. To ocena wzrokowa, więc dwie osoby mogą zobaczyć łokieć w różnych miejscach. Kryterium Kaisera jest jednoznaczne, ale często się myli. Przeglądy metod (Zwick i Velicer, 1986; Fabrigar i in., 1999) zalecają analizę równoległą jako główne kryterium. Ostateczną decyzję podejmij także na podstawie treści pytań: czy czynniki dają się sensownie nazwać.

Najczęstsze błędy

• Traktowanie kryterium Kaisera jako jedynego uzasadnienia liczby czynników, bez analizy równoległej czy wykresu osypiska.
• Stosowanie progu 1 do wartości własnych z analizy czynnikowej (ze wspólnościami na przekątnej) zamiast do pełnej macierzy korelacji.
• Mylenie procentu wariancji składowej z rzetelnością skali albo z procentem osób.
• Pomijanie tego, że suma wartości własnych równa się liczbie pozycji – dodanie lub usunięcie pytania zmienia wszystkie procenty.
• Liczenie wartości własnych na pozycjach z kilku niezwiązanych skal naraz i nazywanie każdej składowej powyżej 1 „nowym czynnikiem”.