g Hedgesa i Δ Glassa – wzór i przykład krok po kroku

g Hedgesa i Δ Glassa to miary wielkości efektu dla różnicy dwóch średnich – bliscy krewni d Cohena. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: w grupach jest po kilka osób, a promotor prosi o „poprawioną” wielkość efektu – co podać i jak to policzyć?

Kiedy stosować g Hedgesa, a kiedy Δ Glassa?

• g Hedgesa – gdy porównujesz dwie grupy różnych osób, a w grupach jest mniej niż około 20 osób; wtedy d Cohena jest wyraźnie zawyżone;
• g Hedgesa – gdy wyniki trafią do metaanalizy; tam standardem jest właśnie g;
• Δ Glassa – gdy masz wyraźną grupę kontrolną (np. zwykłe zajęcia) i grupę eksperymentalną (np. nowa metoda nauki);
• Δ Glassa – gdy rozrzut wyników w grupach jest wyraźnie różny, np. nowa metoda jednym bardzo pomaga, a innym wcale.

Punktem wyjścia jest zawsze d Cohena, liczone zwykle obok testu t dla prób niezależnych. Gdy wariancje w grupach się różnią, sam test raportujesz jako test t Welcha. Przy trzech i więcej grupach sięgasz po eta kwadrat. Szerzej o wyborze miary piszemy we wpisie wielkość efektu – jak liczyć i raportować.

Wzór na g Hedgesa i Δ Glassa

\(\bar{x}_E,\ \bar{x}_K\)

średnia w grupie eksperymentalnej i w grupie kontrolnej

\(s_p\)

połączone odchylenie standardowe obu grup – „uśredniony” rozrzut, ten sam co w teście t: \(s_p = \sqrt{\frac{(n_E - 1)s_E^2 + (n_K - 1)s_K^2}{n_E + n_K - 2}}\)

\(s_K\)

odchylenie standardowe tylko w grupie kontrolnej

\(n_E,\ n_K\)

liczba osób w każdej grupie

\(J\)

poprawka Hedgesa na małą próbę; zawsze mniejsza od 1, a przy dużych grupach prawie równa 1

\(g\)

g Hedgesa – d Cohena pomniejszone o typowe zawyżenie w małej próbie

\(\Delta\)

delta Glassa – różnica średnich w jednostkach rozrzutu grupy kontrolnej

Jak przeczytać te wzory na głos: „g to d Cohena razy poprawka J”, a „delta Glassa to różnica średnich podzielona przez odchylenie standardowe grupy kontrolnej”. Wzór na J to wygodne przybliżenie (Hedges, 1981). Programy czasem liczą wersję dokładną z funkcji gamma; różnica pojawia się zwykle dopiero na trzecim miejscu po przecinku.

Przykład krok po kroku

Bierzemy ten sam zbiór, co w haśle o teście t. Pięcioro studentów uczyło się z notatek (to nasza grupa kontrolna – zwykły sposób nauki), a pięcioro z quizów (grupa eksperymentalna). Punkty z kolokwium (0–10):

1. Średnie. Notatki: 15 / 5 = 3. Quizy: 30 / 5 = 6. Różnica: 6 − 3 = 3 punkty.
2. Odchylenia standardowe w grupach. W każdej grupie suma kwadratów odchyleń wynosi 10. Wariancja = 10 / (5 − 1) = 10 / 4 = 2,5. SD = √2,5 = 1,581.
3. Połączone SD. \(s_p^2 = (4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 2{,}5) / (5 + 5 - 2) = 20 / 8 = 2{,}5\), więc \(s_p = \sqrt{2{,}5} = 1{,}581\). Grupy mają ten sam rozrzut, więc wynik jest taki sam jak SD każdej z nich.
4. d Cohena. d = 3 / 1,581 = 1,897, w zaokrągleniu 1,90.
5. Poprawka J. Najpierw mianownik: 4 · (5 + 5) − 9 = 40 − 9 = 31. Potem 3 / 31 = 0,0968. Na końcu J = 1 − 0,0968 = 0,9032.
6. g Hedgesa. g = 0,9032 · 1,897 = 1,714, w zaokrągleniu 1,71. Poprawka „zabrała” około 10% wartości d, bo próba jest bardzo mała.
7. Δ Glassa. Dzielimy różnicę przez SD samych Notatek: Δ = 3 / 1,581 = 1,897, czyli 1,90. Tutaj Δ = d, bo obie grupy mają identyczny rozrzut. Różnica pojawi się, gdy rozrzuty się rozjadą (Rys. 3).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

g = 1,71 oznacza, że przeciętny student z grupy Quizy ma wynik o 1,71 odchylenia standardowego wyższy niż przeciętny student z grupy Notatki. Umowne progi są takie same jak dla d: 0,2 to efekt mały, 0,5 – średni, 0,8 – duży (Cohen, 1988). Traktuj je jako orientację, a nie sztywną regułę. Zawsze podawaj też przedział ufności. Tutaj jest bardzo szeroki (od 0,29 do 3,07), bo grupy liczą po 5 osób. Wiemy więc, że efekt jest raczej dodatni, ale nie wiemy dokładnie, jak duży.

Jak policzyć g Hedgesa i Δ Glassa w R?

# Notatki = grupa kontrolna, Quizy = grupa eksperymentalna (punkty z kolokwium)
notatki <- c(1, 2, 3, 4, 5)
quizy   <- c(4, 5, 6, 7, 8)
n1 <- length(quizy); n2 <- length(notatki)

# 1) „ręcznie” według wzorów
sp <- sqrt(((n1 - 1) * var(quizy) + (n2 - 1) * var(notatki)) / (n1 + n2 - 2))
d     <- (mean(quizy) - mean(notatki)) / sp          # d Cohena
J     <- 1 - 3 / (4 * (n1 + n2) - 9)                 # poprawka Hedgesa
g     <- J * d                                       # g Hedgesa
delta <- (mean(quizy) - mean(notatki)) / sd(notatki) # Δ Glassa (SD kontrolnej)
round(c(sp = sp, d = d, J = J, g = g, delta = delta), 4)

# 2) gotowe funkcje z pakietu effectsize
library(effectsize)
hedges_g(quizy, notatki)
glass_delta(quizy, notatki, adjust = FALSE)  # SD bierze z drugiej grupy

Wynik w konsoli R:

    sp      d      J      g  delta 
1.5811 1.8974 0.9032 1.7138 1.8974 
Hedges' g |       95% CI
------------------------
1.71      | [0.29, 3.07]

- Estimated using pooled SD.

Glass' delta |       95% CI
---------------------------
1.90         | [0.08, 3.62]

Rachunek ręczny daje g = 1,7138, a hedges_g() – 1,71 (pakiet używa dokładnej poprawki z funkcji gamma: 1,7128; obie wartości po zaokrągleniu są równe). W glass_delta() odchylenie standardowe pochodzi z drugiej podanej grupy, więc grupę kontrolną wpisz jako drugą. Domyślnie funkcja poprawia też Δ na małą próbę (z df = 5 − 1 = 4) i podaje 1,51. Dlatego w kodzie jest adjust = FALSE – wtedy wynik zgadza się z wzorem.

d Cohena czy g Hedgesa – co podać w pracy?

Przy kilkudziesięciu osobach w grupie to praktycznie bez znaczenia: d i g różnią się o 1–2%. Przy małych grupach (poniżej około 20 osób) bezpieczniej podać g, bo d systematycznie przesadza z wielkością efektu (Hedges, 1981; Lakens, 2013). Δ Glassa wybierz wtedy, gdy masz prawdziwą grupę kontrolną i powód, by sądzić, że badana metoda zmienia rozrzut wyników. Najważniejsze jest jedno: napisz w pracy, którą miarę liczysz i przez które odchylenie standardowe dzielisz. Sam symbol „d” bywa w programach używany dla różnych wzorów.

Najczęstsze błędy

• Podpisywanie wyniku jako „d Cohena”, gdy program policzył g (albo odwrotnie) – sprawdź w dokumentacji funkcji.
• W Δ Glassa dzielenie przez SD grupy eksperymentalnej zamiast kontrolnej.
• Liczenie g dla tych samych osób zmierzonych dwa razy według wzoru dla grup niezależnych – pomiary zależne mają osobne wzory.
• Traktowanie progów 0,2/0,5/0,8 jak sztywnej granicy i pomijanie przedziału ufności.
• Pisanie, że duży efekt „dowodzi” skuteczności metody – w małej próbie przedział ufności bywa ogromny.