Test chi-kwadrat zgodności – wzór, przykład krok po kroku i R

Test chi-kwadrat zgodności sprawdza, czy liczebności w kategoriach jednej zmiennej różnią się od liczebności, których oczekujesz – np. czy wszystkie odpowiedzi są wybierane równie często. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci wyraźnie preferują którąś formę zajęć, czy wybory rozkładają się po równo?

Kiedy stosować test chi-kwadrat zgodności?

• masz jedną zmienną jakościową z co najmniej dwiema kategoriami (forma zajęć, ulubiony przedmiot, odpowiedź „tak/nie/nie wiem”);
• chcesz sprawdzić, czy kategorie są wybierane równie często albo zgodnie z zadanymi proporcjami (np. 50% / 30% / 20% z wcześniejszych badań, struktura płci w populacji);
• każda osoba trafia do dokładnie jednej kategorii, a obserwacje są niezależne;
• liczebności oczekiwane wynoszą co najmniej 5 w każdej kategorii (Cochran, 1954) – jeśli nie, użyj testu dokładnego albo wartości p z metody Monte Carlo.

Gdy kategorie są tylko dwie, równoważny jest test dwumianowy (przy małych próbach – dokładniejszy). Gdy masz dwie zmienne jakościowe i pytasz o ich związek, potrzebujesz testu chi-kwadrat niezależności. Same liczebności i procenty opiszesz wcześniej w analizie częstości.

Wzór na test chi-kwadrat zgodności

\(O_i\)

liczebność obserwowana – ile osób naprawdę wybrało kategorię i

\(E_i\)

liczebność oczekiwana – ile osób powinno ją wybrać, gdyby prawdziwa była hipoteza zerowa

\(p_i\)

proporcja z hipotezy zerowej; przy założeniu „po równo” każda kategoria ma 1/k

\(N\)

liczba wszystkich osób

\(k\)

liczba kategorii

\(df = k - 1\)

stopnie swobody: gdy znasz N i k − 1 liczebności, ostatnia jest już wyznaczona

\(\sum\)

znak sumy – dodajesz wkłady wszystkich kategorii

Na głos czytamy: „chi-kwadrat to suma po wszystkich kategoriach: obserwowane minus oczekiwane, do kwadratu, podzielone przez oczekiwane”. Wynik porównujesz z rozkładem chi-kwadrat o k − 1 stopniach swobody.

Przykład krok po kroku

Zapytaliśmy 60 studentów, jaką formę zajęć wolą. Ćwiczenia w sali wybrało 30 osób, zajęcia hybrydowe – 20, a e-learning – 10. Hipoteza zerowa: wszystkie trzy formy są wybierane równie często.

1. Liczebności oczekiwane. Przy założeniu „po równo” każda forma ma proporcję 1/3. E = 60 · 1/3 = 20 osób w każdej kategorii. Wszystkie E są większe od 5, więc test można stosować.
2. Różnice O − E. 30 − 20 = 10; 20 − 20 = 0; 10 − 20 = −10. Suma różnic zawsze wynosi 0 – dlatego podnosimy je do kwadratu.
3. Kwadraty różnic. 10² = 100; 0² = 0; (−10)² = 100.
4. Wkłady. Każdy kwadrat dzielimy przez E: 100 / 20 = 5; 0 / 20 = 0; 100 / 20 = 5. Dzielenie przez E sprawia, że różnica 10 osób „waży” więcej, gdy oczekiwaliśmy 20 osób, niż gdybyśmy oczekiwali 200.
5. Statystyka. χ² = 5 + 0 + 5 = 10,00.
6. Stopnie swobody. df = k − 1 = 3 − 1 = 2.
7. Odczyt z tablic. Wartość krytyczna χ² dla df = 2 i α = 0,05 wynosi 5,991 (w R: qchisq(0.95, 2)). 10 > 5,991, więc odrzucamy hipotezę zerową. Dokładnie: p = pchisq(10, 2, lower.tail = FALSE) = 0,0067, w zaokrągleniu 0,007.
8. Które kategorie „ciągną” wynik? Reszty standaryzowane (O − E) / √E: √20 = 4,47, więc 10 / 4,47 = 2,24 i −10 / 4,47 = −2,24. Wartości powyżej 1,96 co do modułu wskazują kategorie wyraźnie odbiegające od oczekiwań: ćwiczeń w sali jest za dużo, e-learningu za mało.
9. Wielkość efektu. w Cohena = √(χ² / N) = √(10 / 60) = √0,167 = 0,41 – efekt średni według progów 0,1 / 0,3 / 0,5 (Cohen, 1988). Aplikacja SZTOS podaje V Craméra = √(χ² / (N · (k − 1))) = √(10 / 120) = 0,29.

Hipoteza zerowa nie musi zakładać równych proporcji. Gdyby wcześniejsze badania mówiły o 50% / 30% / 20%, to E = 30, 18 i 12, a χ² = 0 + 4/18 + 4/12 ≈ 0 + 0,222 + 0,333 ≈ 0,56; p = 0,76. Te same dane są wtedy zgodne z oczekiwaniami.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Gdyby studenci w populacji wybierali wszystkie formy zajęć równie często, tak duże lub większe odchylenia od rozkładu 20 / 20 / 20 pojawiałyby się tylko w około 0,7% podobnych badań. Dlatego uznajemy, że preferencje nie rozkładają się po równo. Sam test nie mówi jednak, która kategoria różni się od której – tę informację dają reszty standaryzowane. Podaj też procenty, bo czytelnik lepiej rozumie „50% wolało ćwiczenia w sali” niż samo χ². Gotowy opis znajdziesz w przykładzie testu chi-kwadrat.

Jak policzyć test chi-kwadrat zgodności w R?

O <- c(sala = 30, hybryda = 20, e_learning = 10)   # liczebności obserwowane

# 1) „ręcznie”
E  <- sum(O) * c(1/3, 1/3, 1/3)        # oczekiwane: 20, 20, 20
wk <- (O - E)^2 / E; wk                # wkłady: 5, 0, 5
chi2 <- sum(wk); chi2                  # 10
df <- length(O) - 1                    # 2
pchisq(chi2, df, lower.tail = FALSE)   # p
qchisq(0.95, df)                       # wartość krytyczna
sqrt(chi2 / sum(O))                    # w Cohena

# 2) gotowa funkcja (domyślnie: równe proporcje)
test <- chisq.test(O); test
test$residuals                         # (O − E) / √E

# 3) inne proporcje oczekiwane: 50% / 30% / 20%
chisq.test(O, p = c(0.5, 0.3, 0.2))

Wynik w konsoli R:

> wk
      sala    hybryda e_learning 
         5          0          5 
> chi2
[1] 10
> pchisq(chi2, df, lower.tail = FALSE)
[1] 0.006737947
> qchisq(0.95, df)
[1] 5.991465
> sqrt(chi2/sum(O))
[1] 0.4082483
> test

	Chi-squared test for given probabilities

data:  O
X-squared = 10, df = 2, p-value = 0.006738
> test$residuals
      sala    hybryda e_learning 
  2.236068   0.000000  -2.236068 
> chisq.test(O, p = c(0.5, 0.3, 0.2))

	Chi-squared test for given probabilities

data:  O
X-squared = 0.55556, df = 2, p-value = 0.7575

Funkcja chisq.test() z jednym wektorem liczebności domyślnie zakłada równe proporcje. Inne proporcje podajesz argumentem p – muszą sumować się do 1.

Test zgodności czy test niezależności – czym się różnią?

Wzór jest prawie ten sam, ale pytanie inne. Test zgodności dotyczy jednej zmiennej i porównuje ją z rozkładem zadanym z góry (po równo albo z literatury), więc df = k − 1. Test niezależności dotyczy tabeli dwóch zmiennych, a liczebności oczekiwane wylicza się z sum wierszy i kolumn tej tabeli, więc df = (w − 1)(k − 1). Jeśli pytasz „czy studenci wolą któryś wariant?”, wybierz test zgodności. Jeśli pytasz „czy preferencje zależą od kierunku studiów?” – test niezależności.

Najczęstsze błędy

• Wpisywanie do testu procentów zamiast liczebności – χ² zależy od liczby osób, więc z procentami wychodzi zły wynik.
• Stosowanie testu, gdy liczebności oczekiwane są mniejsze niż 5 – połącz kategorie albo użyj metody Monte Carlo lub testu dokładnego.
• Liczenie jednej osoby w kilku kategoriach (pytania wielokrotnego wyboru) – obserwacje przestają być niezależne.
• Wniosek „rozkład jest równomierny”, gdy p > 0,05. Poprawnie: brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równych proporcjach.
• Podawanie samego p bez liczebności, procentów i wielkości efektu.