Rozkład chi-kwadrat – wzór, tablice, przykład i R

Rozkład chi-kwadrat (χ²) to rozkład sumy kwadratów niezależnych wyników z. Na nim opierają się testy chi-kwadrat dla tabel krzyżowych i test zgodności. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: skąd program wziął wartość p dla χ²(2) = 10,00 i co oznaczają stopnie swobody w nawiasie?

Kiedy korzystasz z rozkładu chi-kwadrat?

• wykonujesz test chi-kwadrat niezależności dla tabeli krzyżowej – np. płeć a wybór kierunku;
• sprawdzasz test chi-kwadrat zgodności – czy rozkład odpowiedzi zgadza się z oczekiwanym;
• liczysz test McNemary, Kruskala-Wallisa albo Friedmana – ich statystyki przy większych próbach porównuje się właśnie z rozkładem χ²;
• oceniasz dopasowanie modelu, np. test χ² w analizie czynnikowej, test Bartletta czy porównanie modeli regresji logistycznej.

Rozkład χ² jest „krewnym” innych rozkładów. Pierwiastek z χ² przy 1 stopniu swobody to wartość bezwzględna z. Iloraz dwóch zmiennych χ² podzielonych przez swoje df daje rozkład F, a z rozkładu χ² wywodzi się też rozkład t Studenta.

Wzór na zmienną chi-kwadrat

\(z_1, z_2, \dots\)

niezależne wyniki z rozkładu normalnego standardowego (średnia 0, SD 1) – zobacz wynik standaryzowany z

\(z^2\)

kwadrat wyniku z – zawsze dodatni, dlatego χ² nie może być ujemne

\(df\)

stopnie swobody: liczba niezależnych składników sumy. W testach odejmuje się od liczby składników tyle, ile „więzów” narzucają dane, np. k − 1 w teście zgodności i (w − 1)(k − 1) w tabeli krzyżowej

\(\chi^2_{kryt}\)

wartość krytyczna: punkt, od którego na prawo zostaje α (np. 5%) pola pod krzywą

Na głos czytamy: „chi-kwadrat z df stopniami swobody to suma df kwadratów niezależnych wyników z; jego średnia równa się df, a wariancja dwóm df”.

Przykład krok po kroku

Najpierw zobaczmy, skąd bierze się jedna wartość χ². Wylosowaliśmy trzy wyniki z rozkładu normalnego standardowego: 1, −2 i 0.

1. Suma kwadratów. 1 + 4 + 0 = 5. To jedna wartość z rozkładu χ² z 3 stopniami swobody (bo dodaliśmy 3 kwadraty).
2. Czy to dużo? Średnia rozkładu χ²(3) wynosi 3, więc 5 to wynik nieco powyżej przeciętnej. Pole na prawo od 5 wynosi 0,172 (w R: pchisq(5, 3, lower.tail = FALSE)) – mniej więcej co szósta taka suma jest jeszcze większa.
3. Df = 1 i liczba 3,841. Przy jednym składniku χ² = z². W rozkładzie z 5% wyników leży poza ±1,96. Po podniesieniu do kwadratu: 1,96 · 1,96 = 3,8416 ≈ 3,841. Dlatego wartość krytyczna χ² dla df = 1 i α = 0,05 to 3,841 (w R: qchisq(0.95, 1)).
4. Odczyt z tablic dla prawdziwego testu. W teście zgodności 60 studentów wybierało jedną z 3 form zajęć i otrzymaliśmy χ² = 10,00 przy df = 3 − 1 = 2. W tablicy (Tabela 2) w wierszu df = 2 wartość krytyczna dla α = 0,05 to 5,991. Nasze 10 jest większe, więc p < 0,05.
5. Dokładniej z tablic. W tym samym wierszu dla α = 0,01 jest 9,210, a dla α = 0,005 – 10,597. Wynik 10 leży między nimi, więc 0,005 < p < 0,01.
6. Dokładna wartość z R. pchisq(10, 2, lower.tail = FALSE) = 0,0067. Dla porównania: gdyby to samo χ² = 10 miało df = 1, p wyniosłoby 0,0016 – im więcej stopni swobody, tym większej sumy potrzeba, by uznać ją za nietypową.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Wartość p z rozkładu χ² to prawdopodobieństwo otrzymania sumy rozbieżności co najmniej tak dużej jak nasza, gdyby hipoteza zerowa była prawdziwa (np. gdyby wszystkie formy zajęć były wybierane równie często). Mała wartość p każe wątpić w H0, ale nie mówi, jak duży jest efekt – do tego służą V Craméra albo φ. W zapisie zawsze podawaj df w nawiasie, bo ta sama wartość χ² ma zupełnie inne p przy różnych stopniach swobody. Pełny opis testu znajdziesz w przykładowym raporcie chi-kwadrat.

Jak odczytać rozkład chi-kwadrat w R?

# 1) „ręcznie”: chi-kwadrat to suma kwadratów wyników z
z <- c(1, -2, 0)
sum(z^2)                               # 1 + 4 + 0 = 5, df = 3
pchisq(5, df = 3, lower.tail = FALSE)  # pole na prawo od 5

# 2) wartości krytyczne zamiast tablic (alfa = 0,05)
qchisq(0.95, df = c(1, 2, 3, 4, 5, 10))
1.96^2                                 # df = 1: kwadrat z = 1,96

# 3) wartość p dla chi-kwadrat = 10 przy df = 2 i df = 1
pchisq(10, df = 2, lower.tail = FALSE)
pchisq(10, df = 1, lower.tail = FALSE)
2 * pnorm(-sqrt(10))                   # to samo co df = 1 przez z

# 4) symulacja: średnia ≈ df, wariancja ≈ 2 · df
set.seed(2026)
s <- replicate(20000, sum(rnorm(3)^2))
c(srednia = mean(s), wariancja = var(s))

Wynik w konsoli R:

> sum(z^2)
[1] 5
> pchisq(5, df = 3, lower.tail = FALSE)
[1] 0.1717971
> qchisq(0.95, df = c(1, 2, 3, 4, 5, 10))
[1]  3.841459  5.991465  7.814728  9.487729 11.070498 18.307038
> 1.96^2
[1] 3.8416
> pchisq(10, df = 2, lower.tail = FALSE)
[1] 0.006737947
> pchisq(10, df = 1, lower.tail = FALSE)
[1] 0.001565402
> 2 * pnorm(-sqrt(10))
[1] 0.001565402
> c(srednia = mean(s), wariancja = var(s))
  srednia wariancja 
 3.016769  6.089020 

Funkcja qchisq() zastępuje tablice (podajesz 1 − α i df, dostajesz wartość krytyczną), a pchisq(..., lower.tail = FALSE) zwraca pole w prawym ogonie, czyli wartość p.

Najczęstsze błędy

• Podawanie liczby osób zamiast df w nawiasie, np. χ²(60) zamiast χ²(2).
• Dzielenie p z testu χ² na pół „bo test jest jednostronny” – oba kierunki odchyleń są już w jednym ogonie.
• Odczyt z tablic złego wiersza (df) albo kolumny (α) – sprawdzaj wynik w R funkcją pchisq().
• Stosowanie przybliżenia χ², gdy liczebności oczekiwane są bardzo małe (poniżej 5) – wtedy lepszy jest test dokładny, np. test Fishera.
• Traktowanie dużej wartości χ² jako dowodu silnego związku – χ² rośnie razem z liczebnością próby.