Korelacja cząstkowa – wzór i przykład krok po kroku

Korelacja cząstkowa mierzy związek dwóch zmiennych po usunięciu wpływu trzeciej zmiennej, która może łączyć obie. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy liczba godzin nauki nadal wiąże się z punktami z kolokwium, gdy weźmiemy pod uwagę, że bardziej zmotywowani studenci i więcej się uczą, i lepiej piszą?

Kiedy stosować korelację cząstkową?

• badasz związek dwóch zmiennych ilościowych X i Y, a podejrzewasz, że trzecia zmienna Z jest powiązana z obiema (np. wiek, motywacja, staż);
• chcesz sprawdzić, ile ze związku X i Y zostaje przy „wyrównanym” poziomie Z;
• związki są w przybliżeniu liniowe, a w danych nie ma wartości silnie odstających – jak przy korelacji Pearsona;
• przy danych porządkowych możesz policzyć wersję cząstkową korelacji Spearmana (na rangach).

Korelacja cząstkowa to bliski krewny regresji wielokrotnej: współczynnik przy X w regresji Y na X i Z ma ten sam znak i tę samą wartość p. Gdy pytasz, czy związek X z Y przechodzi przez Z, sięgnij po efekt pośredni. Podstawy rachunku znajdziesz w haśle o kowariancji.

Wzór na korelację cząstkową

\(r_{XY \cdot Z}\)

korelacja cząstkowa X i Y przy kontroli Z (kropka czytamy „przy stałym”)

\(r_{XY}\)

zwykła korelacja Pearsona X i Y – tu godzin nauki i punktów

\(r_{XZ},\ r_{YZ}\)

korelacje każdej z tych zmiennych ze zmienną kontrolowaną Z – tu z motywacją

\(r_{XZ}\,r_{YZ}\)

część korelacji X i Y, której można się spodziewać tylko z powodu wspólnego związku z Z

\(1 - r_{XZ}^2,\ 1 - r_{YZ}^2\)

część zmienności X i Y, której Z nie wyjaśnia (zobacz: współczynnik determinacji)

\(n\)

liczba osób; df = n − 3, bo przy jednej zmiennej kontrolowanej tracimy o jeden stopień swobody więcej niż przy zwykłej korelacji

Na głos: „r X Y przy stałym Z to zwykła korelacja X z Y minus iloczyn ich korelacji z Z, podzielone przez pierwiastek z iloczynu: jeden minus r X Z do kwadratu razy jeden minus r Y Z do kwadratu”.

Przykład krok po kroku

Sześcioro studentów podało, ile godzin tygodniowo się uczy (X), ile punktów zdobyło na kolokwium (Y, 0–20) i jak ocenia swoją motywację (Z, 1–10). Średnie: X = 6, Y = 10, Z = 5.

1. Sumy kwadratów. Σ(x − 6)² = 0 + 25 + 16 + 49 + 9 + 1 = 100. Σ(y − 10)² = 1 + 4 + 25 + 25 + 9 + 36 = 100. Σ(z − 5)² = 9 + 9 + 1 + 4 + 4 + 9 = 36.
2. Trzy zwykłe korelacje. r_XY = 50 / √(100 · 100) = 50 / 100 = 0,50. r_XZ = 36 / √(100 · 36) = 36 / 60 = 0,60. r_YZ = 36 / 60 = 0,60.
3. Licznik. 0,50 − 0,60 · 0,60 = 0,50 − 0,36 = 0,14. Z 0,50 aż 0,36 to część, którą „tłumaczy” wspólna motywacja.
4. Mianownik. 1 − 0,60² = 1 − 0,36 = 0,64 (dla obu zmiennych). √(0,64 · 0,64) = 0,64.
5. Korelacja cząstkowa. 0,14 / 0,64 = 0,21875 ≈ 0,22. Związek godzin nauki z punktami spada z 0,50 do 0,22.
6. Test istotności. t = 0,22 · √3 / √(1 − 0,22²) = 0,379 / 0,976 = 0,39; df = 6 − 3 = 3; p = 0,724. Wartość krytyczna t dla df = 3 to 3,18 (w R: qt(0.975, 3)), więc wynik jest daleko od istotności.

Ten sam wynik dostaniesz drogą „reszt”, która lepiej pokazuje sens wzoru. Regresja X na Z ma nachylenie 36 / 36 = 1 i wyraz wolny 6 − 1 · 5 = 1, więc przewidywane godziny to z + 1. Analogicznie przewidywane punkty to z + 5. Reszta to wynik minus przewidywanie.

Korelacja reszt: 14 / √(64 · 64) = 14 / 64 = 0,21875 – dokładnie tyle, ile dał wzór.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Zwykła korelacja godzin nauki z punktami wynosi 0,50, ale po wyrównaniu motywacji spada do 0,22. Znaczna część wspólnej zmienności godzin i punktów wiąże się więc z tym, że obie rosną razem z motywacją. Przy sześciu osobach ani zwykła korelacja (p = 0,313), ani cząstkowa (p = 0,724) nie jest istotna – brak podstaw do odrzucenia H0 nie oznacza jednak, że związku nie ma. Pamiętaj też, że korelacja cząstkowa nie mówi nic o przyczynach: kontrolujesz tylko tę jedną zmienną, którą wpisałeś.

Jak policzyć korelację cząstkową w R?

godziny   <- c(6, 1, 2, 13, 9, 5)     # X: godziny nauki w tygodniu
punkty    <- c(9, 8, 5, 15, 7, 16)    # Y: punkty z kolokwium
motywacja <- c(2, 2, 4, 7, 7, 8)      # Z: motywacja (1–10)

# 1) „ręcznie” ze wzoru na trzy korelacje
r_xy <- cor(godziny, punkty); r_xz <- cor(godziny, motywacja); r_yz <- cor(punkty, motywacja)
(r_xy - r_xz * r_yz) / sqrt((1 - r_xz^2) * (1 - r_yz^2))

# 2) to samo jako korelacja reszt (usuwamy z X i Y część wspólną z Z)
e_x <- resid(lm(godziny ~ motywacja)); e_y <- resid(lm(punkty ~ motywacja))
round(rbind(e_x, e_y), 2)
cor(e_x, e_y)

# 3) gotowa funkcja z pakietu ppcor
ppcor::pcor.test(godziny, punkty, motywacja)

Wynik w konsoli R:

[1] 0.21875
    1  2  3 4  5  6
e_x 3 -2 -3 5  1 -4
e_y 2  1 -4 3 -5  3
[1] 0.21875
  estimate   p.value statistic n gp  Method
1  0.21875 0.7237164 0.3882901 6  1 pearson

Wszystkie trzy drogi dają 0,21875. Funkcja pcor.test() z pakietu ppcor podaje też statystykę t = 0,39 i p = 0,724; argument method = "spearman" liczy wersję rangową.

Korelacja cząstkowa czy semicząstkowa?

W korelacji cząstkowej usuwasz wpływ Z z obu zmiennych. W korelacji semicząstkowej (inaczej: częściowej, ang. part) usuwasz Z tylko z jednej z nich, np. z godzin nauki, a punkty zostawiasz bez zmian. Jej kwadrat mówi, o ile wzrośnie R² w regresji punktów, gdy do motywacji dodasz godziny nauki. W pracy dyplomowej zwykle wystarcza korelacja cząstkowa; semicząstkową spotkasz głównie w wynikach regresji hierarchicznej (w R: ppcor::spcor.test()).

Najczęstsze błędy

• Pisanie, że korelacja cząstkowa pokazuje „prawdziwy wpływ” X na Y. Kontrolujesz tylko zmienne, które zmierzyłeś i wpisałeś do analizy.
• Kontrolowanie zmiennej, która leży „pomiędzy” X i Y (mediatora). Wtedy usuwasz część interesującego Cię związku.
• Podawanie df = n − 2 zamiast n − 3 (przy jednej zmiennej kontrolowanej).
• Liczenie korelacji Pearsona na danych z wyraźnymi wartościami odstającymi – jedna osoba może zmienić wszystkie trzy korelacje we wzorze.
• Brak raportu zwykłej korelacji obok cząstkowej – czytelnik nie zobaczy, jak bardzo zmienił się związek.