Kowariancja – wzór, przykład krok po kroku i interpretacja

Kowariancja mówi, czy dwie zmienne ilościowe zmieniają się razem: czy wysokim wynikom jednej towarzyszą wysokie, czy niskie wyniki drugiej. Przykładowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci, którzy uczą się dłużej, zdobywają więcej punktów z kolokwium?

Kiedy liczyć kowariancję?

• masz dwie zmienne ilościowe zmierzone u tych samych osób (godziny nauki i punkty);
• chcesz poznać kierunek związku liniowego (dodatni czy ujemny);
• potrzebujesz „cegiełki” do dalszych obliczeń: korelacji Pearsona, współczynnika nachylenia w regresji liniowej, macierzy kowariancji w analizie czynnikowej i modelach SEM.

Do opisu siły związku w pracy dyplomowej używaj korelacji, a nie samej kowariancji. Korelacja to kowariancja „oczyszczona” z jednostek, zawsze leży między −1 a 1. Gdy zmienne są porządkowe albo związek nie jest liniowy, sięgnij po korelację Spearmana.

Wzór na kowariancję

\(\mathrm{cov}(x, y)\)

kowariancja z próby między zmiennymi x i y

\(x_i,\ y_i\)

wyniki i-tej osoby w obu zmiennych, np. godziny nauki i punkty

\(\bar{x},\ \bar{y}\)

średnie obu zmiennych

\((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\)

iloczyn odchyleń: dodatni, gdy osoba jest po tej samej stronie średniej w obu zmiennych, ujemny – gdy po przeciwnych

\(n - 1\)

liczba osób minus jeden – tak samo jak we wzorze na wariancję

\(s_x,\ s_y\)

odchylenia standardowe obu zmiennych; dzielenie przez nie zamienia kowariancję w korelację r

Na głos wzór czytamy tak: „kowariancja to suma iloczynów odchyleń od średnich podzielona przez n minus jeden”. Kowariancja zmiennej z samą sobą to po prostu jej wariancja.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin uczyło się do kolokwium (x) i ile punktów zdobyło (y). To te same dane, co w haśle o korelacji Pearsona.

1. Średnie. \(\bar{x} = 15/5 = 3\) godziny, \(\bar{y} = 30/5 = 6\) punktów.
2. Odchylenia. Od każdego wyniku odejmujesz średnią swojej zmiennej (kolumny 3 i 4 tabeli).
3. Iloczyny odchyleń. Mnożysz odchylenia w parach: 4, 4, 0, 0, 8. Żaden iloczyn nie jest ujemny – nikt nie jest „po przeciwnych stronach” średnich.
4. Suma iloczynów. 4 + 4 + 0 + 0 + 8 = 16.
5. Kowariancja. Dzielisz przez n − 1 = 4: cov = 16 / 4 = 4,00 (w jednostkach „godzina × punkt”).
6. Odchylenia standardowe. \(s_x = \sqrt{10/4} = \sqrt{2{,}5} = 1{,}58\) godziny, \(s_y = \sqrt{40/4} = \sqrt{10} = 3{,}16\) punktu.
7. Korelacja. r = 4 / (1,58 · 3,16) = 4 / 5,00 = 0,80. Dokładnie: \(\sqrt{2{,}5 \cdot 10} = \sqrt{25} = 5\), więc r = 4/5 = 0,80 – tyle samo, co w haśle o korelacji Pearsona.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Z kowariancji odczytasz tylko znak. Dodatnia (u nas 4) oznacza, że więcej godzin nauki idzie w parze z większą liczbą punktów. Ujemna oznaczałaby odwrotny kierunek. Samej wartości nie da się ocenić jako „dużej” czy „małej”, bo zależy od jednostek. Gdyby punkty przeliczyć na procenty (razy 10), kowariancja wzrosłaby do 40, choć związek jest identyczny. Dlatego w pracy dyplomowej podawaj korelację r wraz z przedziałem ufności. Kowariancja, tak jak korelacja, nie dowodzi też przyczynowości.

Pełny opis korelacji w gotowym raporcie znajdziesz w przykładowym raporcie korelacji Pearsona.

Jak policzyć kowariancję w R?

godziny <- c(1, 2, 3, 4, 5)
punkty  <- c(4, 2, 8, 6, 10)
n <- length(godziny)

# 1) „ręcznie”, krok po kroku
dx <- godziny - mean(godziny)      # -2 -1 0 1 2
dy <- punkty - mean(punkty)        # -2 -4 2 0 4
dx * dy                            # iloczyny odchyleń
sum(dx * dy) / (n - 1)             # kowariancja: 16 / 4 = 4

# 2) gotowa funkcja
cov(godziny, punkty)

# 3) od kowariancji do korelacji Pearsona
cov(godziny, punkty) / (sd(godziny) * sd(punkty))   # 0.8
cor(godziny, punkty)

# 4) zmiana jednostki zmienia kowariancję, ale nie korelację
cov(godziny, punkty * 10); cor(godziny, punkty * 10)

Wynik w konsoli R:

> dx * dy
[1] 4 4 0 0 8
> sum(dx * dy)/(n - 1)
[1] 4
> cov(godziny, punkty)
[1] 4
> cov(godziny, punkty)/(sd(godziny) * sd(punkty))
[1] 0.8
> cor(godziny, punkty)
[1] 0.8
> cov(godziny, punkty * 10)
[1] 40
> cor(godziny, punkty * 10)
[1] 0.8

Funkcja cov() dzieli przez n − 1, tak jak var(). Gdy podasz jej całą ramkę danych, np. cov(dane), zwróci macierz kowariancji: na przekątnej znajdziesz wariancje zmiennych, a poza nią kowariancje każdej pary. W Excelu wersję z próby liczy funkcja KOWARIANCJA.PRÓBKI, a wersję populacyjną (dzielenie przez n, u nas 16 / 5 = 3,2) – KOWARIANCJA.POPUL.

Kowariancja a korelacja – czym się różnią?

Obie miary mają ten sam licznik: sumę iloczynów odchyleń. Kowariancja dzieli go tylko przez n − 1, więc zachowuje jednostki obu zmiennych i może przyjąć dowolną wartość. Korelacja dzieli dodatkowo przez oba odchylenia standardowe, dzięki czemu traci jednostki i mieści się między −1 a 1. Można też powiedzieć inaczej: korelacja to kowariancja wyników z. Kowariancję wykorzystasz w obliczeniach (regresja, macierze kowariancji), a korelację – w opisie wyników.

Najczęstsze błędy

• Ocenianie siły związku na podstawie wartości kowariancji („kowariancja 40 to silny związek”).
• Porównywanie kowariancji par zmiennych mierzonych w różnych jednostkach.
• Dzielenie przez n zamiast przez n − 1 przy danych z próby (tak jak w wariancji).
• Wnioskowanie, że kowariancja bliska zeru oznacza brak związku – może istnieć związek nieliniowy.
• Liczenie kowariancji bez spojrzenia na wykres rozrzutu – jeden punkt odstający potrafi zmienić jej znak.