Margines błędu i liczebność próby – wzór i przykład

Margines błędu mówi, o ile w górę i w dół może się mylić odsetek z ankiety, a wzór na liczebność próby – ile osób musisz zbadać, żeby ten margines był wystarczająco mały. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: ilu studentów muszę przebadać, żeby wynik ankiety był „reprezentatywny”?

Kiedy liczyć margines błędu i liczebność próby?

• planujesz ankietę i chcesz uzasadnić w metodologii, dlaczego badasz właśnie tyle osób;
• głównym wynikiem będzie odsetek (np. ilu studentów korzysta z korepetycji);
• masz już dane i chcesz podać, jak precyzyjny jest odsetek – wtedy liczysz margines dla znanego n (to połowa szerokości przedziału ufności dla proporcji);
• badasz zamkniętą grupę (np. 1000 studentów jednego wydziału) i chcesz uwzględnić, że populacja jest mała.

Ten wzór dotyczy dokładności oszacowania jednego odsetka. Jeśli Twoje hipotezy dotyczą porównań (np. czy kobiety i mężczyźni różnią się wynikiem), potrzebujesz analizy mocy testu – zobacz błąd drugiego rodzaju i moc testu. Dlaczego w ogóle możemy korzystać z rozkładu normalnego, wyjaśnia centralne twierdzenie graniczne.

Wzór na margines błędu i liczebność próby

\(E\)

margines błędu zapisany jako ułamek: ±5 punktów procentowych to 0,05

\(z\)

wartość z rozkładu normalnego dla poziomu ufności: 1,96 dla 95%, 2,576 dla 99%

\(p\)

spodziewany odsetek odpowiedzi „tak”; gdy go nie znasz, wstaw 0,5 – to wariant najbezpieczniejszy

\(\sqrt{p(1-p)/n}\)

błąd standardowy odsetka

\(n_0\)

potrzebna liczba osób, gdy populacja jest bardzo duża

\(N\)

wielkość całej populacji, z której losujesz (np. 1000 studentów wydziału)

\(n\)

potrzebna liczba osób po poprawce na populację skończoną; zawsze zaokrąglasz w górę

Środkowy wzór przeczytasz na głos tak: „liczba osób to kwadrat wartości z razy p razy jeden minus p, podzielone przez kwadrat marginesu błędu”. Margines jest w mianowniku i do tego w kwadracie – dlatego zmniejszanie go tak szybko „kosztuje” osoby.

Przykład krok po kroku

Chcesz oszacować, jaki odsetek studentów korzysta z korepetycji. Wynik ma mieć margines ±5 punktów procentowych przy 95% ufności. Nie wiesz, jakiego odsetka się spodziewać, więc przyjmujesz p = 0,5. Tabela pokazuje też warianty ±10 i ±3 punkty:

1. Wartość z. Dla 95% ufności z = 1,96 (w tablicy rozkładu normalnego: wartość, poniżej której leży 97,5% pola; w R: qnorm(0.975)). Do kwadratu: 1,96 · 1,96 = 3,8416.
2. Iloczyn p(1 − p). 0,5 · 0,5 = 0,25. Licznik: 3,8416 · 0,25 = 0,9604.
3. Kwadrat marginesu. 0,05 · 0,05 = 0,0025.
4. Dzielenie. n₀ = 0,9604 / 0,0025 = 384,16. Nie da się zbadać 0,16 osoby, a zaokrąglenie w dół dałoby margines nieco większy niż 5 punktów, więc zaokrąglasz w górę: 385 osób.
5. Poprawka na populację skończoną. Jeśli cały wydział liczy N = 1000 studentów, to 384,16 − 1 = 383,16; 383,16 / 1000 = 0,38316; 1 + 0,38316 = 1,38316; 384,16 / 1,38316 = 277,74. W górę: 278 osób. Jeśli najpierw zaokrąglisz n₀ do 385, a dopiero potem zastosujesz poprawkę, wyjdzie 278,18, czyli 279 – taką wersję podają niektóre kalkulatory. Różnica jednej osoby nie ma znaczenia; 278 już wystarcza (sprawdzenie w R niżej).
6. Inne marginesy. Dla ±10 punktów: 0,9604 / 0,01 = 96,04 → 97 osób. Dla ±3 punktów: 0,9604 / 0,0009 = 1067,11 → 1068 osób. Z ±5 na ±3 punkty to niecałe dwa razy dokładniej, ale prawie trzy razy więcej osób.

Jeśli z wcześniejszych badań wiesz, że odsetek wynosi około 20%, wstaw p = 0,2: 3,8416 · 0,16 / 0,0025 = 245,86 → 246 osób. Odsetek 50% to „najgorszy przypadek” (Rys. 3), więc przyjmując go, nigdy nie zbadasz za mało osób.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

W rozdziale metodologicznym podaj wszystkie założenia: poziom ufności, margines błędu, przyjęty odsetek i wielkość populacji. Po zebraniu danych licz margines dla faktycznej liczby osób – jeśli zamiast 278 odpowiedziało 200 studentów, margines będzie większy niż 5 punktów. Bądź uczciwy: wzór zakłada losowy dobór próby. Ankieta rozesłana po znajomych albo na grupie wydziałowej nie staje się reprezentatywna dlatego, że wypełniło ją 385 osób. Margines błędu opisuje tylko przypadkowe wahania losowania, a nie to, że do badania trafiły głównie osoby aktywne w mediach społecznościowych. Przy próbie dostępności napisz to wprost w ograniczeniach badania (zobacz też: opracowanie wyników ankiety).

Jak policzyć liczebność próby w R?

z <- 1.96      # 95% ufności (dokładnie: qnorm(0.975))
p <- 0.5       # spodziewany odsetek; 0,5 = wariant „na zapas”
E <- 0.05      # margines błędu: ±5 punktów procentowych
N <- 1000      # wielkość populacji (np. studenci jednego wydziału)

# 1) liczebność próby „ręcznie”
n0 <- z^2 * p * (1 - p) / E^2
n0; ceiling(n0)                       # 384,16 -> 385

# 2) poprawka na populację skończoną
n_N <- n0 / (1 + (n0 - 1) / N)
n_N; ceiling(n_N)                     # 277,74 -> 278

# 3) ±3, ±5 i ±10 punktów procentowych
ceiling(z^2 * p * (1 - p) / c(0.03, 0.05, 0.10)^2)

# 4) sprawdzenie odwrotne: jaki margines daje dana liczba osób?
margines <- function(n, N = Inf) {
  fpc <- if (is.finite(N)) (N - n) / (N - 1) else 1   # poprawka tylko dla skończonej N
  z * sqrt(p * (1 - p) / n * fpc)
}
round(100 * margines(c(384, 385)), 3)                 # bez poprawki
round(100 * margines(c(277, 278), N = 1000), 3)       # populacja 1000

Wynik w konsoli R:

[1] 384.16
[1] 385
[1] 277.7408
[1] 278
[1] 1068  385   97
[1] 5.001 4.995
[1] 5.009 4.997

Sprawdzenie odwrotne pokazuje, dlaczego zaokrąglamy w górę: przy 384 osobach margines wynosi 5,001 punktu (ciut za dużo), a przy 385 – 4,995. W populacji 1000 osób 277 osób daje 5,009, a 278 osób – 4,997 punktu.

Czy 385 osób to zawsze „reprezentatywna próba”?

Nie. Liczba 385 krąży po internecie jak magiczna stała, ale to tylko wynik jednego zestawu założeń: 95%, ±5 punktów, p = 0,5. Reprezentatywność zależy od sposobu doboru osób, a nie od ich liczby. Losowa próba 278 studentów z listy wydziału powie więcej niż 2000 odpowiedzi z otwartego linku. Jeśli zamierzasz porównywać podgrupy (np. kierunki studiów), margines liczysz dla każdej podgrupy osobno – a wtedy potrzebnych osób szybko przybywa.

Najczęstsze błędy

• Zaokrąglanie liczebności w dół (384 zamiast 385) – margines wychodzi wtedy odrobinę większy niż zakładany.
• Wpisywanie marginesu w procentach (5) zamiast jako ułamka (0,05) – wynik wychodzi absurdalnie mały.
• Traktowanie wzoru jako dowodu reprezentatywności ankiety zebranej „po znajomych”.
• Używanie wzoru dla jednego odsetka do planowania porównań grup – do tego służy analiza mocy testu.
• Liczenie marginesu dla całej próby i przenoszenie go na małe podgrupy (np. 40 osób z jednego kierunku).