Sferyczność: test Mauchly’ego i poprawka Greenhouse’a-Geissera

Sferyczność to założenie ANOVA z powtarzanymi pomiarami: różnice między każdą parą pomiarów mają podobną wariancję. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: co zrobić, gdy program pokazuje test Mauchly’ego i trzy różne wartości p – „bez korekty”, „Greenhouse-Geisser” i „Huynh-Feldt”?

W prostych słowachMierzysz te same osoby trzy razy. Dla każdej osoby możesz policzyć, o ile zmieniła się między pomiarami 1 i 2, 1 i 3 oraz 2 i 3. Sferyczność oznacza, że te zmiany są u różnych osób mniej więcej tak samo zróżnicowane w każdej parze. Gdy tak nie jest, zwykły test F za często daje istotny wynik. Poprawka Greenhouse’a-Geissera zmniejsza wtedy stopnie swobody, a wartość p rośnie.

Kiedy sprawdzać sferyczność?

liczysz ANOVA z powtarzanymi pomiarami albo dwuczynnikową ANOVA z powtarzanymi pomiarami;
czynnik powtarzany ma co najmniej trzy poziomy – przy dwóch pomiarach jest tylko jedna różnica, więc sferyczność jest spełniona zawsze;
chcesz zdecydować, którą wartość p raportować: bez korekty czy z poprawką.

To odpowiednik założenia o równych wariancjach w grupach niezależnych, które sprawdza się testem Levene’a. Gdy dane są porządkowe albo mocno skośne, zamiast ANOVA użyj testu Friedmana, który sferyczności nie wymaga.

Wzór na ε Greenhouse’a-Geissera i W Mauchly’ego

$$ \varepsilon = \frac{\big(\operatorname{tr} \mathbf{S}\big)^2}{(k - 1)\,\operatorname{tr}\!\big(\mathbf{S}^2\big)} \qquad W = \frac{\det \mathbf{S}}{\big(\operatorname{tr} \mathbf{S} / (k - 1)\big)^{k - 1}} \qquad df_{GG} = \varepsilon\,(k - 1)\ \text{ i }\ \varepsilon\,(k - 1)(n - 1) $$ $$ \text{dla } k = 3:\quad \mathbf{S} = \begin{bmatrix} a & c \\ c & b \end{bmatrix} \qquad a = \frac{V_{12}}{2} \qquad b = \frac{2V_{13} + 2V_{23} - V_{12}}{6} \qquad c^2 = \frac{(V_{13} - V_{23})^2}{12} $$

$k,\ n$: liczba pomiarów i liczba osób
$V_{12},\ V_{13},\ V_{23}$: wariancje różnic między pomiarami 1 i 2, 1 i 3 oraz 2 i 3 – policzone tak jak zwykła wariancja
$\mathbf{S}$: macierz kowariancji dwóch „porównań” (kontrastów): pierwsze zestawia pomiar 1 z 2, drugie – średnią z pomiarów 1 i 2 z pomiarem 3; dla trzech pomiarów ma wymiar 2×2
$a,\ b,\ c$: elementy tej macierzy: wariancje obu porównań i ich kowariancja
$\operatorname{tr} \mathbf{S}$: ślad, czyli suma liczb na przekątnej: a + b
$\operatorname{tr}(\mathbf{S}^2)$: dla macierzy 2×2: a² + b² + 2c²
$\det \mathbf{S}$: wyznacznik: a · b − c²
$\varepsilon$: (epsilon) miara sferyczności: 1 = idealna, najmniej 1 / (k − 1), czyli 0,5 przy trzech pomiarach
$W$: statystyka testu Mauchly’ego: 1 = idealna sferyczność, im bliżej 0, tym silniejsze naruszenie

Na głos: „epsilon to kwadrat sumy przekątnej macierzy podzielony przez liczbę pomiarów minus jeden i przez sumę kwadratów wszystkich jej elementów”. Gdy wariancje różnic są równe, c = 0 i a = b, więc ε = 1.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów oceniło swoją wiedzę ze statystyki (skala 1–10) przed warsztatami, zaraz po nich i miesiąc później. Średnie pomiarów to 5, 6 i 7. Dla każdej osoby liczysz trzy różnice i ich odchylenia od średniej różnicy.

Tabela 1. Dane, różnice między pomiarami i kwadraty odchyleń różnic
Osoba	Przed	Po	Miesiąc	d₁₂ = przed − po	(d₁₂ + 1)²	d₁₃ = przed − miesiąc	(d₁₃ + 2)²	d₂₃ = po − miesiąc	(d₂₃ + 1)²
1	6	6	7	0	1	−1	1	−1	0
2	4	5	6	−1	0	−2	0	−1	0
3	4	8	7	−4	9	−3	1	1	4
4	6	6	7	0	1	−1	1	−1	0
5	5	5	8	0	1	−3	1	−3	4
Σ	25	30	35	−5 (średnia −1)	12	−10 (średnia −2)	4	−5 (średnia −1)	8

Wariancje różnic. Sumy kwadratów dzielisz przez n − 1 = 4: V₁₂ = 12 / 4 = 3; V₁₃ = 4 / 4 = 1; V₂₃ = 8 / 4 = 2. Przy idealnej sferyczności te trzy liczby byłyby równe.
Element a. a = V₁₂ / 2 = 3 / 2 = 1,5.
Element b. b = (2 · 1 + 2 · 2 − 3) / 6 = (2 + 4 − 3) / 6 = 3 / 6 = 0,5.
Element c². c² = (1 − 2)² / 12 = 1 / 12 = 0,0833.
Ślad. tr S = a + b = 1,5 + 0,5 = 2. Do kwadratu: 2² = 4. (Ślad to zawsze średnia z trzech wariancji różnic: (3 + 1 + 2) / 3 = 2.)
Ślad kwadratu macierzy. a² + b² + 2c² = 2,25 + 0,25 + 2 · 0,0833 = 2,6667.
Epsilon. ε = 4 / (2 · 2,6667) = 4 / 5,3333 = 0,75. To pośrodku między 1 (pełna sferyczność) a 0,5 (najgorszy możliwy przypadek).
Test Mauchly’ego. det S = 1,5 · 0,5 − 0,0833 = 0,6667. Mianownik: (2 / 2)² = 1. W = 0,6667 / 1 = 0,67. Program przelicza W na statystykę chi-kwadrat: χ² = −3 · ln(0,6667) = 3 · 0,4055 = 1,22 przy df = 2 (mnożnik 3 to n − 1 − (2 · 2² + 2 + 2) / (6 · 2) = 4 − 1). Wartość p = 0,544 (w R: pchisq(1.22, 2, lower.tail = FALSE)).
Zwykły test F. SS pomiaru = 5 · [(5 − 6)² + (6 − 6)² + (7 − 6)²] = 10; SS błędu = 8. F = (10 / 2) / (8 / 8) = 5,00; df = 2 i 8; p = 0,039.
Korekta. Mnożysz oba df przez ε: 2 · 0,75 = 1,5 oraz 8 · 0,75 = 6. Wartość F się nie zmienia, ale dla F(1,5; 6) = 5,00 wychodzi p = 0,059. Wartość krytyczna rośnie z 4,46 (qf(0.95, 2, 8)) do 5,47 (qf(0.95, 1.5, 6)).

Wykres z aplikacji SZTOS: średnia samoocena wiedzy przed 5, po 6 i miesiąc później 7 z liniami łączącymi wyniki tych samych osób i klamrą z gwiazdką dla pary przed – miesiąc później — Rys. 1. Te same dane w raporcie aplikacji SZTOS (ANOVA z powtarzanymi pomiarami). Szare słupki to średnie, niebieskie wąsy – niepewność średniej, cienkie linie łączą wyniki tej samej osoby. Widać, że osoba 3 „skacze” z 4 na 8 punktów, a potem spada – to ona najbardziej zwiększa wariancję różnicy przed – po. SZTOS sprawdził sferyczność testem Mauchly’ego (p = 0,544) i nie zastosował korekty.

Różnice wyników pięciu osób dla trzech par pomiarów: przed – po o wariancji 3, przed – miesiąc o wariancji 1 i po – miesiąc o wariancji 2 — Rys. 2. Tak wygląda sferyczność „od kuchni”. Każda kolumna to jedna para pomiarów, kropki to różnice u pięciu osób. Gdyby założenie było spełnione, kropki w każdej kolumnie byłyby tak samo rozrzucone. Tu rozrzut w pierwszej kolumnie (wariancja 3) jest trzy razy większy niż w drugiej (wariancja 1).

Prawe ogony rozkładów F(2; 8) i F(1,5; 6) z zaznaczonym F = 5; wartości krytyczne 4,46 i 5,47; p = 0,039 bez korekty i 0,059 z korektą — Rys. 3. Co robi poprawka? Statystyka F zostaje ta sama (5,00), ale porównujesz ją z innym rozkładem. Rozkład z mniejszą liczbą stopni swobody (czerwony) ma grubszy ogon, więc pole za F = 5 rośnie z 0,039 do 0,059, a wartość krytyczna przesuwa się z 4,46 na 5,47 – nasze F jest już przed nią.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Test Mauchly’ego nie wykazał naruszenia sferyczności, a jednak ε = 0,75 i po korekcie wynik przestaje być istotny. Nie ma tu sprzeczności. Przy pięciu osobach test Mauchly’ego ma bardzo małą moc: nie „widzi” nawet trzykrotnych różnic w wariancjach. Przy setkach osób – odwrotnie – wyłapuje drobiazgi. Dlatego wielu metodologów radzi nie uzależniać decyzji od samego testu Mauchly’ego, tylko zawsze patrzeć na ε i wynik z poprawką Greenhouse’a-Geissera. Gdy ε jest większe od 0,75, część autorów zaleca łagodniejszą poprawkę Huynha-Feldta (Girden, 1992). W naszym przykładzie wynik bez korekty i z korektą prowadzi do różnych wniosków, więc w pracy uczciwie pokaż oba.

Zapis w stylu APA: Test Mauchly’ego nie wykazał naruszenia założenia sferyczności, W = 0,67; χ²(2) = 1,22; p = 0,544. Ze względu na małą liczebność próby zastosowano jednak poprawkę Greenhouse’a-Geissera (ε = 0,75). Zmiana samooceny wiedzy między pomiarami była nieistotna statystycznie, F(1,5; 6) = 5,00; p = 0,059; η²_G = 0,45.

Jak sprawdzić sferyczność w R?

przed <- c(6, 4, 4, 6, 5); po <- c(6, 5, 8, 6, 5); miesiac <- c(7, 6, 7, 7, 8)

# 1) „ręcznie”: wariancje różnic, macierz 2×2, epsilon i W Mauchly'ego
V12 <- var(przed - po); V13 <- var(przed - miesiac); V23 <- var(po - miesiac)
a <- V12 / 2; b <- (2 * V13 + 2 * V23 - V12) / 6; c2 <- (V13 - V23)^2 / 12
eps <- (a + b)^2 / (2 * (a^2 + b^2 + 2 * c2))     # Greenhouse-Geisser
W <- (a * b - c2) / ((a + b) / 2)^2               # Mauchly
round(c(V12 = V12, V13 = V13, V23 = V23, eps = eps, W = W), 3)

# 2) gotowe funkcje (pakiet afex)
dane <- data.frame(id = factor(rep(1:5, 3)), y = c(przed, po, miesiac),
                   pomiar = factor(rep(c("przed", "po", "miesiac"), each = 5)))
suppressPackageStartupMessages(library(afex))
fit <- aov_ez("id", "y", dane, within = "pomiar")
suppressWarnings(summary(fit))$sphericity.tests  # test Mauchly'ego
anova(fit, correction = "GG")                     # F z poprawką GG

Wynik w konsoli R:

  V12   V13   V23   eps     W 
3.000 1.000 2.000 0.750 0.667 
       Test statistic p-value
pomiar        0.66667 0.54433
Anova Table (Type 3 tests)

Response: y
       num Df den Df    MSE F     ges  Pr(>F)  
pomiar    1.5      6 1.3333 5 0.45455 0.05859 .
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Wzór „ręczny” daje te same liczby co pakiet: ε = 0,75 i W = 0,667. Pakiet afex sam mnoży stopnie swobody przez ε i podaje F(1,5; 6) z p = 0,059. Bez argumentu correction afex domyślnie stosuje korektę Greenhouse’a-Geissera.

Greenhouse-Geisser czy Huynh-Feldt – którą poprawkę wybrać?

Greenhouse-Geisser jest bezpieczniejszy, ale nieco zbyt surowy, gdy naruszenie jest niewielkie. Huynh-Feldt koryguje tę surowość i czasem daje ε większe od 1 – wtedy program przycina je do 1, czyli w praktyce nie robi korekty. Tak jest w naszym przykładzie: ε Huynha-Feldta wyszło 1,1, więc p = 0,039 jak bez korekty. Prosta reguła: przy ε poniżej 0,75 raportuj Greenhouse’a-Geissera, powyżej – możesz wybrać Huynha-Feldta. Inną drogą jest analiza wielozmiennowa (MANOVA dla pomiarów powtarzanych), która sferyczności nie zakłada, ale potrzebuje więcej osób.

Najczęstsze błędy

Uznanie, że nieistotny test Mauchly’ego „dowodzi” sferyczności. Przy małej próbie to raczej brak mocy.
Podawanie F z poprawionymi wartościami p, ale z całkowitymi df, np. F(2, 8). Po korekcie df są ułamkowe: F(1,5; 6).
Sprawdzanie sferyczności przy dwóch pomiarach – tam założenie zawsze jest spełnione.
Mylenie sferyczności z normalnością albo z równością wariancji samych pomiarów. Chodzi o wariancje różnic między pomiarami.
Raportowanie W Mauchly’ego jako „ε”. To dwie różne liczby: W jest statystyką testu, ε – miarą do korekty.

Bibliografia

Mauchly, J. W. (1940). Significance test for sphericity of a normal n-variate distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 11(2), 204–209. https://doi.org/10.1214/aoms/1177731915
Greenhouse, S. W., & Geisser, S. (1959). On methods in the analysis of profile data. Psychometrika, 24(2), 95–112. https://doi.org/10.1007/BF02289823
Girden, E. R. (1992). ANOVA: Repeated measures. SAGE.
Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering statistics using R. SAGE.
Hryniewicz, K., & Milewska, A. (2023). SZTOS: System Zautomatyzowanego Tworzenia Opisu Statystycznego [Oprogramowanie]. SZTOS IT. https://sztos-it.com/

Zobacz też

Potrzebujesz pomocy z analizą do pracy dyplomowej?

Policzymy Twoje wyniki, przygotujemy tabele, wykresy i opis w standardzie APA, który wykorzystasz w swojej pracy. Pomagamy jak statystyk i redaktor – autorem pracy zostajesz Ty. Konsultacja i wycena są bezpłatne.

Oferta dla studentów (lic./mgr) Oferta dla badaczy (artykuły, doktoraty)