Wariancja – wzór, przykład krok po kroku i interpretacja

Wariancja mówi, jak bardzo wyniki rozrzucają się wokół średniej. Przykładowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci śpią przed kolokwium podobnie długo, czy jedni śpią dużo, a inni prawie wcale?

Kiedy liczyć wariancję?

• masz zmienną ilościową (godziny snu, punkty z kolokwium, wiek, wynik skali);
• chcesz opisać zróżnicowanie wyników, a nie tylko ich poziom;
• potrzebujesz „cegiełki” do dalszych obliczeń – z wariancji powstaje odchylenie standardowe, kowariancja, test t i analiza wariancji (ANOVA).

W tabelach pracy zwykle podajesz nie wariancję, ale odchylenie standardowe. Powód jest prosty: wariancja ma jednostki „do kwadratu” (godziny²), a odchylenie standardowe – zwykłe godziny. Gdy chcesz porównać zróżnicowanie zmiennych mierzonych w różnych jednostkach, sięgnij po współczynnik zmienności. Przy danych porządkowych lub z wartościami odstającymi lepiej opisać rozrzut rozstępem międzykwartylowym.

Wzór na wariancję

\(s^2\)

wariancja z próby – liczysz ją prawie zawsze, bo badasz tylko część studentów, a wnioskujesz o wszystkich

\(\sigma^2\)

wariancja populacyjna – gdy masz wyniki wszystkich osób, o które pytasz, i nie chcesz niczego uogólniać

\(x_i\)

wynik i-tej osoby, np. liczba godzin snu

\(\bar{x},\ \mu\)

średnia z próby i średnia w populacji

\(x_i - \bar{x}\)

odchylenie: o ile dana osoba śpi dłużej (plus) lub krócej (minus) niż średnio

\(\sum\)

„zsumuj” – dodaj wartości dla wszystkich osób

\(n - 1\)

liczba osób minus jeden, czyli stopnie swobody

Na głos wzór czytamy tak: „wariancja to suma kwadratów odchyleń od średniej podzielona przez n minus jeden”.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało w noc przed kolokwium: 6, 2, 7, 4 i 6 godzin. Policzmy wariancję ręcznie.

1. Średnia. Dodajesz wyniki i dzielisz przez liczbę osób: 6 + 2 + 7 + 4 + 6 = 25, a 25 / 5 = 5. Średnio studenci spali 5 godzin.
2. Odchylenia. Od każdego wyniku odejmujesz średnią: 1, −3, 2, −1, 1. Ich suma zawsze wynosi 0 (1 − 3 + 2 − 1 + 1 = 0). Dlatego samych odchyleń nie można po prostu uśrednić.
3. Kwadraty odchyleń. Każde odchylenie mnożysz przez siebie: 1, 9, 4, 1, 1. Teraz wszystkie liczby są dodatnie, a duże odchylenia ważą więcej niż małe.
4. Suma kwadratów (SS). 1 + 9 + 4 + 1 + 1 = 16.
5. Wariancja z próby. Dzielisz przez n − 1 = 5 − 1 = 4: s² = 16 / 4 = 4,00 h².
6. Wariancja populacyjna (dla porównania). Gdyby tych pięć osób było całą grupą, o którą pytasz, dzielisz przez n = 5: σ² = 16 / 5 = 3,20 h².
7. Odchylenie standardowe. Pierwiastek z wariancji: \(\sqrt{4} = 2\) godziny. Ta liczba wraca do zwykłych jednostek.

Dlaczego dzielimy przez n − 1?

Odchylenia liczysz od średniej z próby, a nie od prawdziwej średniej populacji. Średnia z próby zawsze leży „w środku” Twoich wyników, więc odchylenia od niej są przeciętnie trochę za małe. Dzielenie przez n − 1 zamiast przez n koryguje to niedoszacowanie (tzw. poprawka Bessela). Druga intuicja: gdy znasz średnią i cztery z pięciu wyników, piąty jest już przesądzony. Swobodnie może się zmieniać tylko n − 1 odchyleń – to są stopnie swobody.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Sama wariancja jest trudna do odczytania, bo „4 godziny kwadratowe” nic nie mówią. W opisie podaj więc średnią i odchylenie standardowe, a wariancję tylko wtedy, gdy wymaga tego dalsza analiza. Porównuj wariancje tylko dla zmiennych mierzonych w tych samych jednostkach. Pamiętaj też, że wariancja jest wrażliwa na wyniki odstające: jeden student z 2 godzinami snu odpowiada za 9 z 16 punktów sumy kwadratów. Pełny opis statystyk w raporcie znajdziesz w przykładowym raporcie z eksploracji danych.

Jak policzyć wariancję w R?

sen <- c(6, 2, 7, 4, 6)          # godziny snu przed kolokwium
n <- length(sen)

# 1) „ręcznie”, krok po kroku – jak na kartce
srednia <- sum(sen) / n            # 25 / 5 = 5
odchylenia <- sen - srednia        # 1, -3, 2, -1, 1
kwadraty <- odchylenia^2           # 1, 9, 4, 1, 1
SS <- sum(kwadraty)                # 16
SS / (n - 1)                       # wariancja z próby: 4
SS / n                             # wariancja populacyjna: 3.2

# 2) gotowa funkcja: var() dzieli przez n - 1
var(sen)
var(sen) * (n - 1) / n             # przeliczenie na wersję populacyjną
all.equal(var(sen), SS / (n - 1))  # TRUE – wyniki są równe
sd(sen)                            # odchylenie standardowe = pierwiastek z 4

Wynik w konsoli R:

> SS/(n - 1)
[1] 4
> SS/n
[1] 3.2
> var(sen)
[1] 4
> var(sen) * (n - 1)/n
[1] 3.2
> all.equal(var(sen), SS/(n - 1))
[1] TRUE
> sd(sen)
[1] 2

Uwaga: funkcja var() w R, a także Excel (WARIANCJA.PRÓBKI) i SPSS liczą wariancję z próby, czyli dzielą przez n − 1. Wersję populacyjną musisz przeliczyć samodzielnie.

Wariancja a odchylenie standardowe – czym się różnią?

Opisują to samo: rozrzut wyników wokół średniej. Odchylenie standardowe to po prostu pierwiastek z wariancji. Wariancja jest wygodna w obliczeniach, bo wariancje niezależnych części można dodawać – na tym opiera się podział zmienności w ANOVA i regresji. Odchylenie standardowe jest wygodne w opisie, bo ma te same jednostki co dane. W pracy dyplomowej w tekście i tabelach podawaj zwykle odchylenie standardowe.

Najczęstsze błędy

• Dzielenie przez n zamiast przez n − 1, gdy badasz próbę i wnioskujesz o populacji.
• Zapominanie o podniesieniu odchyleń do kwadratu – suma samych odchyleń zawsze wynosi 0.
• Podawanie wariancji w tych samych jednostkach co dane („wariancja 4 godziny”). Poprawnie: 4 h² albo SD = 2 h.
• Porównywanie wariancji zmiennych mierzonych w różnych jednostkach lub na różnych skalach.
• Liczenie wariancji bez obejrzenia danych – jedna obserwacja odstająca potrafi ją kilkukrotnie zwiększyć.