Test Browna-Forsythe’a – wzór i przykład krok po kroku

Test Browna-Forsythe’a sprawdza, czy rozrzut wyników jest podobny w kilku grupach. To odmiana testu Levene’a, w której odległości liczy się od mediany grupy, a nie od średniej. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy przed ANOVA mogę założyć równe wariancje, skoro w jednej grupie wyniki wyglądają na dużo bardziej rozstrzelone?

Kiedy stosować test Browna-Forsythe’a?

• chcesz sprawdzić założenie o równości wariancji przed ANOVA lub testem t dla prób niezależnych;
• rozkłady w grupach są skośne albo mają wartości odstające – wtedy wersja z medianą jest bezpieczniejsza od klasycznego testu Levene’a;
• porównujesz dwie lub więcej grup różnych osób;
• chcesz odpowiedzieć na pytanie badawcze o samą zmienność (np. czy w zajęciach zdalnych wyniki są bardziej „rozjechane”).

Uwaga na nazwy: funkcja leveneTest() z pakietu car domyślnie liczy właśnie wersję z medianą, a wiele programów nazywa ją po prostu „testem Levene’a”. Gdy wariancje się różnią, nie musisz rezygnować z porównania średnich – wybierz ANOVA Welcha z testem Games-Howella albo, przy dwóch grupach, test t Welcha.

Wzór na test Browna-Forsythe’a

\(x_{ij}\)

wynik osoby i w grupie j

\(\mathrm{Me}_j\)

mediana grupy j – środkowy wynik po uporządkowaniu

\(z_{ij}\)

odległość wyniku od mediany jego grupy; pionowe kreski to wartość bezwzględna, więc odległość zawsze jest dodatnia albo zerowa

\(\bar{z}_j\)

średnia odległość w grupie j – miara rozrzutu tej grupy

\(\bar{z}\)

średnia odległość we wszystkich grupach razem

\(n_j,\ N,\ k\)

liczba osób w grupie j, liczba wszystkich osób, liczba grup

\(F\)

statystyka rozkładu F – dokładnie taka jak w jednoczynnikowej ANOVA, tylko liczona na odległościach z zamiast na wynikach

Na głos: „F to zmienność średnich odległości od mediany między grupami, podzielona przez zmienność tych odległości wewnątrz grup”. Klasyczny Levene ma ten sam wzór, tylko z \( |x_{ij} - \bar{x}_j| \).

Przykład krok po kroku

Bierzemy dane z hasła o ANOVA Welcha. Piętnaścioro studentów z trzech form zajęć napisało kolokwium. Stacjonarna: 3, 3, 4, 5, 5. Hybrydowa: 4, 6, 6, 6, 8. Zdalna: 6, 8, 10, 12, 14. Wariancje wynoszą 1, 2 i 10.

1. Mediany. Wyniki są już uporządkowane, więc mediana to trzeci wynik: 4, 6 i 10.
2. Odległości od mediany. Dla grupy zdalnej: |6 − 10| = 4, |8 − 10| = 2, |10 − 10| = 0, |12 − 10| = 2, |14 − 10| = 4. Tak samo w pozostałych grupach.
3. Średnie odległości. 4 / 5 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 12 / 5 = 2,4. W grupie zdalnej wynik leży średnio 2,4 punktu od mediany, w pozostałych – 0,8 punktu.
4. Średnia ogólna odległości. (4 + 4 + 12) / 15 = 20 / 15 = 1,333.
5. Zmienność między grupami (SSB). 0,8 − 1,333 = −0,533; do kwadratu 0,284; razy 5 osób = 1,422 (dwa razy). 2,4 − 1,333 = 1,067; do kwadratu 1,138; razy 5 = 5,689. Suma: 1,422 + 1,422 + 5,689 = 8,533.
6. Zmienność wewnątrz grup (SSW). Od każdej odległości odejmujesz średnią jej grupy, podnosisz do kwadratu i sumujesz: 0,8 + 4,8 + 11,2 = 16,8.
7. Średnie kwadraty. df₁ = 3 − 1 = 2, df₂ = 15 − 3 = 12. MSB = 8,533 / 2 = 4,267; MSW = 16,8 / 12 = 1,4.
8. Statystyka F. F = 4,267 / 1,4 = 3,05.
9. Wartość p. W tablicy rozkładu F dla df = 2 i 12 wartość krytyczna (α = 0,05) wynosi 3,885 (w R: qf(0.95, 2, 12)). Nasze 3,05 jest mniejsze. Dokładnie: p = 0,085 (pf(3.048, 2, 12, lower.tail = FALSE)).
10. Porównanie z klasycznym Levene’em. Tu każda grupa jest symetryczna, więc średnia równa się medianie, a oba testy dają identyczne F = 3,05. Różnica pojawia się przy rozkładach skośnych (rys. 3).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

p = 0,085 oznacza, że gdyby wariancje w populacji były równe, tak duże lub większe F wyszłoby w około 8,5% podobnych badań. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy o równych wariancjach. To jednak nie dowód, że wariancje są równe: największa jest tu dziesięć razy większa od najmniejszej, a przy pięciu osobach w grupie test ma małą moc. Dlatego w tym przykładzie i tak warto użyć ANOVA Welcha.

Jak policzyć test Browna-Forsythe’a w R?

punkty <- c(3, 3, 4, 5, 5,   4, 6, 6, 6, 8,   6, 8, 10, 12, 14)
grupa  <- factor(rep(c("Stacjonarna", "Hybrydowa", "Zdalna"), each = 5),
                 levels = c("Stacjonarna", "Hybrydowa", "Zdalna"))

# 1) „ręcznie”: odległości od mediany grupy, a potem zwykła ANOVA na nich
z <- abs(punkty - ave(punkty, grupa, FUN = median))
tapply(z, grupa, mean)                               # średnie odległości
SSB <- sum(5 * (tapply(z, grupa, mean) - mean(z))^2)
SSW <- sum((z - ave(z, grupa))^2)
F <- (SSB / 2) / (SSW / 12)
round(c(SSB = SSB, SSW = SSW, F = F, p = pf(F, 2, 12, lower.tail = FALSE)), 3)

# 2) gotowa funkcja: car::leveneTest z medianą (to jest test Browna-Forsythe’a)
car::leveneTest(punkty ~ grupa, center = median)
# dla porównania klasyczny Levene (średnia) – tu identyczny, bo grupy są symetryczne
car::leveneTest(punkty ~ grupa, center = mean)$`F value`[1]

Wynik w konsoli R:

Stacjonarna   Hybrydowa      Zdalna 
        0.8         0.8         2.4 
   SSB    SSW      F      p 
 8.533 16.800  3.048  0.085 
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
      Df F value  Pr(>F)  
group  2  3.0476 0.08506 .
      12                  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
[1] 3.047619

Rachunek „ręczny” i car::leveneTest(..., center = median) dają to samo: F = 3,048; p = 0,085. Argument center = mean zamienia test w klasyczny Levene.

Levene czy Brown-Forsythe – który podać w pracy?

Brown i Forsythe (1974) pokazali, że wersja z medianą zachowuje poziom 5% fałszywych alarmów także przy rozkładach skośnych, a przy rozkładach normalnych traci niewiele mocy. Dlatego jest dobrym wyborem domyślnym, szczególnie gdy test Shapiro-Wilka albo wykres Q-Q pokazują skośność. Ważniejsze od nazwy jest jednak, żebyś w pracy napisał, co policzyłeś – na przykład „test Levene’a z medianą (Browna-Forsythe’a)”. I pamiętaj: przy małych grupach żaden test wariancji nie ma dużej mocy, więc decyzję o Welchu lepiej opierać na stosunku wariancji i liczebnościach niż na samym p.

Najczęstsze błędy

• Wpisywanie „test Levene’a”, gdy program policzył wersję z medianą – albo odwrotnie.
• Uznanie, że p > 0,05 „dowodzi” równości wariancji. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równych wariancjach”.
• Zapominanie, że test Browna-Forsythe’a dla wariancji to coś innego niż test Browna-Forsythe’a dla średnich (poprawiona statystyka F*, odpowiednik ANOVA Welcha).
• Liczenie odległości od mediany całej próby zamiast od mediany każdej grupy osobno.
• Rezygnacja z porównania średnich, gdy wariancje się różnią – zamiast tego wybierz ANOVA Welcha.