ANOVA Welcha i test Games-Howella – wzór i przykład

ANOVA Welcha porównuje średnie w trzech lub więcej grupach wtedy, gdy rozrzut wyników w grupach jest wyraźnie różny, a test Games-Howella pokazuje potem, które pary grup się różnią. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: czy studenci z zajęć stacjonarnych, hybrydowych i zdalnych zdobywają średnio tyle samo punktów, skoro w grupie zdalnej wyniki są dużo bardziej rozstrzelone?

Kiedy stosować ANOVA Welcha i test Games-Howella?

• porównujesz trzy lub więcej grup różnych osób (np. formy zajęć, kierunki studiów);
• zmienna zależna jest ilościowa (punkty, czas, wynik skali), a jej rozkład w każdej grupie jest zbliżony do normalnego;
• wariancje w grupach wyraźnie się różnią – największa jest kilka razy większa od najmniejszej – zwłaszcza gdy grupy mają też różną liczebność;
• po istotnym wyniku Welcha chcesz sprawdzić wszystkie pary grup bez zakładania równych wariancji – do tego służy Games-Howell.

Gdy wariancje są podobne, wystarczy klasyczna jednoczynnikowa ANOVA z testem Tukeya. Przy dwóch grupach odpowiednikiem jest test t Welcha. Równość wariancji ocenisz testem Levene’a, ale pamiętaj: przy kilku osobach w grupie ten test ma małą moc. Gdy wyniki są porządkowe albo bardzo skośne, wybierz test Kruskala-Wallisa.

Wzór na ANOVA Welcha

\(\bar{x}_j,\ s_j^2,\ n_j\)

średnia, wariancja i liczba osób w grupie j

\(w_j\)

waga grupy: liczba osób podzielona przez wariancję; mały rozrzut i dużo osób dają dużą wagę

\(W\)

suma wag wszystkich grup

\(\bar{x}_w\)

średnia ważona średnich grup – punkt odniesienia zamiast zwykłej średniej ogólnej

\(\Lambda\)

(lambda) poprawka mówiąca, jak bardzo wagi są nierówne i jak małe są grupy; im większa, tym mniej stopni swobody

\(k\)

liczba grup

\(df_1,\ df_2\)

stopnie swobody; \(df_2\) zwykle nie jest liczbą całkowitą

Na głos: „F Welcha to ważona suma kwadratów odległości średnich grup od średniej ważonej, podzielona przez liczbę grup minus jeden, a potem przez poprawkę zależną od lambdy”.

Games-Howell porównuje parę grup i oraz j statystyką \( t = (\bar{x}_i - \bar{x}_j) / \sqrt{s_i^2/n_i + s_j^2/n_j} \), z osobnymi stopniami swobody Welcha dla każdej pary. Wartość p odczytuje z rozkładu studentyzowanego rozstępu (tego samego co Tukey) dla wartości \( t\sqrt{2} \).

Przykład krok po kroku

Piętnaścioro studentów z trzech form zajęć napisało kolokwium (0–20 punktów). Stacjonarna: 3, 3, 4, 5, 5. Hybrydowa: 4, 6, 6, 6, 8. Zdalna: 6, 8, 10, 12, 14. W grupie zdalnej wyniki są rozrzucone dziesięć razy bardziej niż w stacjonarnej.

1. Średnie i wariancje. Dla każdej grupy liczysz średnią, odchylenia od niej, ich kwadraty i dzielisz sumę kwadratów przez n − 1 = 4. Wychodzi s² = 1; 2 i 10.
2. Wagi. w = n / s², czyli 5 / 1 = 5; 5 / 2 = 2,5; 5 / 10 = 0,5. Suma wag W = 5 + 2,5 + 0,5 = 8.
3. Średnia ważona. (5 · 4 + 2,5 · 6 + 0,5 · 10) / 8 = (20 + 15 + 5) / 8 = 40 / 8 = 5. Zwykła średnia trzech średnich to 6,67 – grupa zdalna „ciągnie” ją w górę, choć jej średnia jest najmniej pewna.
4. Licznik. 5 · (4 − 5)² + 2,5 · (6 − 5)² + 0,5 · (10 − 5)² = 5 + 2,5 + 12,5 = 20. Dzielisz przez k − 1 = 2: licznik = 10.
5. Lambda. 1 − 5/8 = 0,375, do kwadratu 0,1406; 1 − 2,5/8 = 0,6875, do kwadratu 0,4727; 1 − 0,5/8 = 0,9375, do kwadratu 0,8789. Suma 1,4922, podzielona przez n − 1 = 4: Λ = 0,3730.
6. Mianownik. 2 · (3 − 2) / (3² − 1) = 2 / 8 = 0,25. Mianownik = 1 + 0,25 · 0,3730 = 1,0933.
7. F Welcha. F = 10 / 1,0933 = 9,15.
8. Stopnie swobody. df₁ = 3 − 1 = 2; df₂ = 8 / (3 · 0,3730) = 8 / 1,1191 = 7,15.
9. Wartość p. Dla F = 9,15 przy df = 2 i 7,15 program podaje p = 0,011. Wartość krytyczna dla α = 0,05 wynosi około 4,69 (w R: qf(0.95, 2, 7.15)), a nasze F jest dużo większe. Klasyczna ANOVA dałaby F(2, 12) = 10,77; p = 0,002 – wynik „lepszy”, ale oparty na fałszywym założeniu równych wariancji.
10. Games-Howell: Stacjonarna – Zdalna. Różnica 10 − 4 = 6. Błąd: 1/5 + 10/5 = 0,2 + 2 = 2,2; √2,2 = 1,483. t = 6 / 1,483 = 4,05; df = 2,2² / [(0,2² + 2²) / 4] = 4,84 / 1,01 = 4,79; p = 0,024.
11. Pozostałe pary. Stacjonarna – Hybrydowa: t = 2 / √0,6 = 2,58; df = 7,2; p = 0,081. Hybrydowa – Zdalna: t = 4 / √2,4 = 2,58; df = 5,54; p = 0,098. Obie nieistotne.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Średnie punktów różnią się między formami zajęć, F Welcha wyszło istotne. Gdyby forma zajęć nie miała żadnego związku z wynikiem, tak duże lub większe F zdarzałoby się tylko w około 1,1% podobnych badań. Test Games-Howella pokazuje, że wyraźnie różnią się tylko skrajne grupy: stacjonarna i zdalna. Dla pozostałych par brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równych średnich – to nie dowód, że średnie są takie same. Jako wielkość efektu możesz podać omega kwadrat. Pięć osób w grupie to tylko ilustracja rachunku.

Jak policzyć ANOVA Welcha i Games-Howella w R?

dane <- data.frame(
  punkty = c(3, 3, 4, 5, 5,   4, 6, 6, 6, 8,   6, 8, 10, 12, 14),
  grupa  = factor(rep(c("Stacjonarna", "Hybrydowa", "Zdalna"), each = 5),
                  levels = c("Stacjonarna", "Hybrydowa", "Zdalna")))

# 1) „ręcznie”, dokładnie według wzoru Welcha
k <- 3; n <- tapply(dane$punkty, dane$grupa, length)
m <- tapply(dane$punkty, dane$grupa, mean)
s2 <- tapply(dane$punkty, dane$grupa, var)
w <- n / s2; W <- sum(w); m_w <- sum(w * m) / W        # wagi i średnia ważona
L <- sum((1 - w / W)^2 / (n - 1))                      # lambda
F_W <- (sum(w * (m - m_w)^2) / (k - 1)) / (1 + 2 * (k - 2) / (k^2 - 1) * L)
round(c(m_w = m_w, F = F_W, df2 = (k^2 - 1) / (3 * L)), 3)

# 2) gotowe funkcje: ANOVA Welcha i test Games-Howella
oneway.test(punkty ~ grupa, data = dane, var.equal = FALSE)
gh <- rstatix::games_howell_test(dane, punkty ~ grupa)
as.data.frame(gh[, c("group1", "group2", "estimate", "p.adj")])

Wynik w konsoli R:

  m_w     F   df2 
5.000 9.147 7.148 

	One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  punkty and grupa
F = 9.1469, num df = 2.0000, denom df = 7.1483, p-value =
0.0107

       group1    group2 estimate p.adj
1 Stacjonarna Hybrydowa        2 0.081
2 Stacjonarna    Zdalna        6 0.024
3   Hybrydowa    Zdalna        4 0.098

Rachunek „ręczny” i funkcja oneway.test(..., var.equal = FALSE) dają to samo: F = 9,15 i df₂ = 7,15. Argument var.equal = TRUE zamieniłby test w klasyczną ANOVA.

Czy zawsze używać ANOVA Welcha zamiast zwykłej ANOVA?

Coraz więcej metodologów tak radzi. Gdy wariancje są równe, Welch traci bardzo mało mocy w porównaniu z klasyczną ANOVA. Gdy są nierówne – a w praktyce często są – chroni przed fałszywymi alarmami, szczególnie gdy najmniejsza grupa ma największy rozrzut (Delacre i in., 2019). Nie musisz więc uzależniać wyboru od testu Levene’a, który przy małych grupach często „nie widzi” różnic w wariancjach, a przy dużych wyłapuje różnice bez znaczenia. W naszym przykładzie test Levene’a dał p = 0,085, choć jedna wariancja jest dziesięć razy większa od drugiej.

Najczęstsze błędy

• Raportowanie F Welcha z całkowitymi stopniami swobody, np. F(2, 12). Drugie df Welcha jest ułamkowe – podaj je z dwoma miejscami po przecinku.
• Liczenie testu Tukeya po ANOVA Welcha. Tukey zakłada równe wariancje; po Welchu użyj Games-Howella.
• Wybieranie testu na podstawie samego p z testu Levene’a przy kilku osobach w grupie.
• Traktowanie Welcha jako lekarstwa na wszystko. Przy silnie skośnych rozkładach lub wartościach odstających lepszy bywa test Kruskala-Wallisa.
• Pisanie „przyjęto H0” dla nieistotnych par. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia H0”.