Współczynnik zmienności (CV) – wzór, przykład i interpretacja

Współczynnik zmienności mówi, jaką część średniej stanowi odchylenie standardowe, i wyraża to w procentach. Przykładowe pytanie z pracy dyplomowej: co jest bardziej zróżnicowane w grupie – długość snu przed kolokwium czy liczba zdobytych punktów?

Kiedy stosować współczynnik zmienności?

• porównujesz zróżnicowanie zmiennych mierzonych w różnych jednostkach (godziny i punkty);
• porównujesz tę samą zmienną w grupach o bardzo różnych średnich (np. dochody studentów i pracowników);
• zmienna ma prawdziwe zero (skala ilorazowa): czas, liczba punktów, waga, cena – zero oznacza „brak” tego, co mierzysz;
• wszystkie wartości są dodatnie, a średnia jest wyraźnie większa od zera.

Gdy porównujesz zmienne w tych samych jednostkach i o podobnych średnich, wystarczy odchylenie standardowe. Gdy chcesz ocenić położenie pojedynczej osoby, a nie zróżnicowanie całej grupy, użyj wyniku standaryzowanego z.

Wzór na współczynnik zmienności

\(CV\)

współczynnik zmienności (ang. coefficient of variation) – liczba bez jednostek, zwykle podawana w procentach

\(s\)

odchylenie standardowe z próby, czyli pierwiastek z wariancji

\(\bar{x}\)

średnia arytmetyczna tej samej zmiennej

\(\cdot 100\%\)

zamiana ułamka na procent (0,40 to 40%)

Na głos wzór czytamy tak: „współczynnik zmienności to odchylenie standardowe podzielone przez średnią, razy sto procent”.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów zapisało, ile godzin spało przed kolokwium (6, 2, 7, 4, 6) i ile punktów na 30 możliwych zdobyło (16, 20, 24, 16, 24). Która zmienna jest bardziej zróżnicowana?

1. Średnie. Sen: 25 / 5 = 5 godzin. Punkty: 100 / 5 = 20 punktów.
2. Wariancje. Sumy kwadratów odchyleń dzielisz przez n − 1 = 4. Sen: 16 / 4 = 4. Punkty: 64 / 4 = 16.
3. Odchylenia standardowe. Sen: \(\sqrt{4} = 2\) godziny. Punkty: \(\sqrt{16} = 4\) punkty.
4. CV dla snu. 2 / 5 = 0,40, czyli 40%.
5. CV dla punktów. 4 / 20 = 0,20, czyli 20%.
6. Porównanie. Odchylenie standardowe punktów (4) jest dwa razy większe niż snu (2), ale to porównanie „jabłek z gruszkami”. Względem średniej sen jest zróżnicowany dwa razy bardziej: 40% wobec 20%.

Kiedy CV nie ma sensu?

CV wymaga skali, na której zero oznacza prawdziwy brak cechy. Dla czasu snu tak jest: przeliczenie godzin na minuty (360, 120, 420, 240, 360) nie zmienia CV – dalej wychodzi 40%. Inaczej jest z temperaturą. Trzy dni z temperaturą 18, 20 i 22 °C dają CV = 10%. Te same dni w stopniach Fahrenheita dają 5,3%, a w kelwinach 0,7%. Zero na skali Celsjusza jest umowne, więc wynik zależy od wybranej skali i nic nie znaczy.

To samo dotyczy wyników skal ankietowych 1–5, ocen szkolnych czy wyników testów przesuniętych o stałą. Druga pułapka to średnia bliska zera, np. dla różnicy „po – przed” albo zmiennych przyjmujących wartości ujemne. Dzielenie przez prawie zero daje ogromne, niestabilne CV, a przy średniej ujemnej – nawet ujemne.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Nie ma jednego uniwersalnego progu. W polskich materiałach dydaktycznych często spotkasz umowną regułę bez jednego źródła: CV poniżej około 25% to zróżnicowanie małe, 25–45% – przeciętne, a powyżej 45% – duże. Traktuj ją jako orientację, a nie normę. Ważniejsze jest porównanie: która zmienna lub grupa ma wyższe CV i o ile. W opisie zawsze podaj też średnią i odchylenie standardowe, żeby czytelnik mógł sprawdzić obliczenia.

Jak policzyć współczynnik zmienności w R?

sen    <- c(6, 2, 7, 4, 6)          # godziny snu
punkty <- c(16, 20, 24, 16, 24)     # punkty z kolokwium (0–30)

# 1) „ręcznie”: odchylenie standardowe / średnia
s_sen <- sqrt(sum((sen - mean(sen))^2) / (5 - 1))         # 2
s_pkt <- sqrt(sum((punkty - mean(punkty))^2) / (5 - 1))   # 4
c(sen = s_sen / mean(sen), punkty = s_pkt / mean(punkty)) # 0.4 i 0.2

# 2) to samo krócej, w procentach
cv <- function(x) 100 * sd(x) / mean(x)
c(sen = cv(sen), punkty = cv(punkty))
DescTools::CoefVar(sen)            # gotowa funkcja z pakietu: 0.4

# 3) zmiana jednostki (godziny -> minuty) nie zmienia CV
cv(sen * 60)

# 4) ale temperatura w °C i °F daje różne CV – zero jest umowne
cv(c(18, 20, 22)); cv(c(18, 20, 22) * 9 / 5 + 32)

Wynik w konsoli R:

> c(sen = s_sen/mean(sen), punkty = s_pkt/mean(punkty))
   sen punkty 
   0.4    0.2 
> c(sen = cv(sen), punkty = cv(punkty))
   sen punkty 
    40     20 
> DescTools::CoefVar(sen)
[1] 0.4
> cv(sen * 60)
[1] 40
> cv(c(18, 20, 22))
[1] 10
> cv(c(18, 20, 22) * 9/5 + 32)
[1] 5.294118

Funkcja CoefVar() z pakietu DescTools zwraca CV jako ułamek (0,4), a nie procent. Podstawowe R nie ma osobnej funkcji, ale wystarczy jedna linijka: sd(x) / mean(x).

CV czy odchylenie standardowe – co podać w pracy?

Najczęściej oba. Odchylenie standardowe jest standardem w tabelach statystyk opisowych i to ono pojawia się w zapisie APA obok średniej. Współczynnik zmienności dodajesz wtedy, gdy celem jest porównanie zróżnicowania: dwóch zmiennych o różnych jednostkach albo tej samej zmiennej w grupach o wyraźnie różnych średnich. Jeśli wszystkie Twoje zmienne mierzysz na tej samej skali i mają podobne średnie, CV nie wniesie nic nowego – wystarczy porównać odchylenia standardowe.

Najczęstsze błędy

• Liczenie CV dla skal z umownym zerem: temperatury w °C, skal Likerta 1–5, wyników standaryzowanych.
• Liczenie CV, gdy średnia jest bliska zera albo ujemna – wynik jest wtedy bezsensownie duży lub ujemny.
• Porównywanie zróżnicowania zmiennych w różnych jednostkach za pomocą samego odchylenia standardowego.
• Dzielenie wariancji (a nie odchylenia standardowego) przez średnią.
• Podawanie CV bez średniej i odchylenia standardowego, z których powstał.