Percentyle i centyle – wzór, przykład krok po kroku i R

Percentyl (centyl) to wartość, poniżej której leży określony procent wyników – np. 90. percentyl oddziela 90% najniższych wyników od 10% najwyższych. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: jak opisać wyniki testu w kategoriach centyli albo jakim centylem jest wynik 15 punktów w Twojej grupie?

Kiedy stosować percentyle?

• opisujesz rozkład, który jest skośny albo ma wartości odstające – percentyle są na nie odporne, w przeciwieństwie do średniej;
• chcesz podać kwartyle (P25, P50, P75) i rozstęp ćwiartkowy obok mediany;
• porównujesz wynik osoby z normami testu (centyle, steny, staniny);
• wyznaczasz progi, np. „10% osób z najwyższym poziomem stresu” albo granice siatek centylowych wzrostu i masy ciała.

Percentyli używa się przy danych ilościowych i porządkowych z wieloma wartościami. Przy skali Likerta 1–5 wiele osób ma ten sam wynik, więc percentyle często są „sklejone” i lepiej pokazać zwykły rozkład częstości.

Wzór na percentyl

\(p\)

szukany percentyl zapisany jako ułamek, np. 0,25 dla P25 albo 0,90 dla P90

\(n\)

liczba wyników

\(x_{(1)}, x_{(2)}, \dots, x_{(n)}\)

wyniki ustawione od najmniejszego do największego; liczba w nawiasie to miejsce w szeregu

\(h\)

pozycja percentyla w uporządkowanym szeregu – może wypaść „pomiędzy” dwiema osobami

\(\lfloor h \rfloor\)

część całkowita h (zaokrąglenie w dół), np. dla h = 4,6 jest to 4

\(h - \lfloor h \rfloor\)

część ułamkowa – mówi, jaki kawałek drogi do następnego wyniku trzeba przejść

Na głos czytamy: „znajdź pozycję h; weź wynik stojący na pozycji całkowitej i dodaj do niego taką część różnicy do następnego wyniku, jaką jest ułamek pozycji”. To tzw. typ 7 – domyślny w R i w funkcji PERCENTYL.PRZEDZ.ZAMK w Excelu. Wiele podręczników i SPSS używa pozycji \(h = (n + 1)\cdot p\) (typ 6). Oba sposoby są poprawne, ale przy małych próbach dają inne liczby, dlatego w pracy napisz, której metody użyłeś.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów spało przed kolokwium 6, 2, 7, 4 i 6 godzin. Szukamy percentyli P25, P50, P75 i P90.

1. Uporządkuj dane. 6, 2, 7, 4, 6 → 2, 4, 6, 6, 7. Bez tego kroku percentyle nie mają sensu.
2. P25. Pozycja h = (5 − 1) · 0,25 + 1 = 1 + 1 = 2. Na drugim miejscu stoi 4, więc P25 = 4 godziny.
3. P50 (mediana). h = 4 · 0,5 + 1 = 3. Trzeci wynik to 6, więc P50 = 6 godzin.
4. P75. h = 4 · 0,75 + 1 = 3 + 1 = 4. Czwarty wynik to 6, więc P75 = 6 godzin. Rozstęp ćwiartkowy: 6 − 4 = 2.
5. P90 – z interpolacją. h = 4 · 0,9 + 1 = 3,6 + 1 = 4,6. Bierzemy wynik z pozycji 4 (czyli 6) i dokładamy 0,6 drogi do wyniku z pozycji 5 (czyli 7): 7 − 6 = 1, 0,6 · 1 = 0,6, 6 + 0,6 = 6,6 godziny.
6. Metoda podręcznikowa (typ 6). Dla P25: h = 6 · 0,25 = 1,5, czyli połowa drogi między 2 a 4: 2 + 0,5 · 2 = 3. Dla P75: h = 6 · 0,75 = 4,5, czyli 6 + 0,5 · 1 = 6,5. Mediana jest taka sama w obu metodach (6).

Centyl wyniku w normach testu

Teraz pytanie odwrotne. Dziesięcioro studentów zdobyło na kolokwium 2, 4, 5, 9, 10, 10, 11, 15, 16 i 18 punktów. Jakim centylem jest wynik 15? Wzór na rangę centylową to \(C = \dfrac{B + 0{,}5\cdot E}{n}\cdot 100\), gdzie B to liczba osób z niższym wynikiem, a E – z identycznym.

1. Policz osoby niżej. Mniej niż 15 punktów ma 7 osób (2, 4, 5, 9, 10, 10, 11), więc B = 7.
2. Policz osoby z tym samym wynikiem. 15 punktów ma 1 osoba, więc E = 1, a połowa z niej to 0,5.
3. Podziel i pomnóż przez 100. (7 + 0,5) / 10 = 0,75; 0,75 · 100 = 75. Wynik 15 punktów to 75. centyl.
4. Sprawdzenie na innym wyniku. Dla 10 punktów: B = 4, E = 2, (4 + 1) / 10 · 100 = 50, czyli wynik dokładnie w środku grupy.

W normach opartych na rozkładzie normalnym centyl łatwo zamienić na wynik z: z = −1 to około 16. centyl, z = 0 to 50. centyl, a z = 1 to 84. centyl (w R: pnorm(1) = 0,841).

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Percentyle zawsze opisuj językiem procentów osób: „10% studentów spało dłużej niż 6,6 godziny”. Centyl nie jest procentem poprawnych odpowiedzi. Osoba na 75. centylu nie rozwiązała 75% zadań, tylko wypadła lepiej niż około 75% grupy porównawczej. Przy małej próbie (jak tu) percentyle skrajne, np. P90, są bardzo niepewne – zmiana jednego wyniku potrafi je mocno przesunąć. Gotowy opis statystyk opisowych zobaczysz w przykładowym raporcie eksploracji danych.

Jak policzyć percentyle w R?

sen <- sort(c(6, 2, 7, 4, 6))          # 2 4 6 6 7
n <- length(sen); p <- 0.90

# 1) „ręcznie” wg typu 7: pozycja h = (n - 1) * p + 1
h <- (n - 1) * p + 1                   # 4.6
dol <- floor(h)                        # 4. pozycja
sen[dol] + (h - dol) * (sen[dol + 1] - sen[dol])   # 6 + 0.6 * 1 = 6.6

# 2) gotowa funkcja: typ 7 (domyślny w R i Excelu) i typ 6 (SPSS)
quantile(sen, c(0.25, 0.50, 0.75, 0.90))
quantile(sen, c(0.25, 0.50, 0.75, 0.90), type = 6)

# 3) centyl (ranga procentowa) wyniku 15 w grupie 10 osób
punkty <- c(2, 4, 5, 9, 10, 10, 11, 15, 16, 18)
(sum(punkty < 15) + 0.5 * sum(punkty == 15)) / 10 * 100
round(pnorm(c(-1, 0, 1)) * 100)        # centyle dla z = -1, 0, 1

Wynik w konsoli R:

> sen[dol] + (h - dol) * (sen[dol + 1] - sen[dol])
[1] 6.6
> quantile(sen, c(0.25, 0.5, 0.75, 0.9))
25% 50% 75% 90% 
4.0 6.0 6.0 6.6 
> quantile(sen, c(0.25, 0.5, 0.75, 0.9), type = 6)
25% 50% 75% 90% 
3.0 6.0 6.5 7.0 
> (sum(punkty < 15) + 0.5 * sum(punkty == 15))/10 * 100
[1] 75
> round(pnorm(c(-1, 0, 1)) * 100)
[1] 16 50 84

Argument type w funkcji quantile() wybiera metodę. Jeśli chcesz uzyskać te same liczby co w SPSS, użyj type = 6.

Percentyl a centyl – czy to to samo?

Tak, to dwie nazwy tej samej idei: podziału uporządkowanych wyników na 100 części. „Centyl” częściej pojawia się w psychometrii i medycynie (siatki centylowe), „percentyl” – w statystyce. Różnica, na którą warto uważać, dotyczy kierunku pytania. „Percentyl 75” to zwykle wartość (np. 14 punktów), a „wynik na 75. centylu” – miejsce osoby w grupie. Kwartyle to percentyle 25, 50 i 75, a decyle – 10, 20, …, 90.

Najczęstsze błędy

• Liczenie percentyli bez uporządkowania danych.
• Mylenie centyla z procentem poprawnych odpowiedzi.
• Porównywanie percentyli z różnych programów bez sprawdzenia metody (typ 6 vs typ 7) – przy małych próbach różnice są wyraźne.
• Odejmowanie i uśrednianie centyli tak, jakby były równymi odstępami – różnica 50 → 60 centyla to dużo mniej punktów niż 85 → 95.
• Podawanie skrajnych percentyli (P5, P95) przy kilkunastu osobach.