Rozstęp – wzór, przykład krok po kroku i R

Rozstęp to najprostsza miara rozproszenia: różnica między największym a najmniejszym wynikiem. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: jak opisać, w jakim zakresie wahał się wiek badanych albo liczba godzin snu – i czy rozstęp w ogóle wystarczy?

Kiedy stosować rozstęp?

• opisujesz próbę w tabeli „Charakterystyka badanych” – np. „wiek: 19–26 lat”; wtedy zwykle podajesz minimum i maksimum, a nie samą różnicę;
• sprawdzasz dane przed analizą: rozstęp „godziny snu 2–22” od razu zdradza błąd we wpisie;
• chcesz szybko porównać zakres wyników w kilku grupach o podobnej liczebności;
• dane są małe i czyste, a rozstęp ma uzupełnić odchylenie standardowe albo rozstęp ćwiartkowy.

Jako główną miarę rozrzutu wybierz SD (gdy rozkład jest zbliżony do normalnego) albo IQR (gdy rozkład jest skośny lub są obserwacje odstające). Jeśli chcesz porównać rozrzut zmiennych mierzonych na różnych skalach, sięgnij po współczynnik zmienności.

Wzór na rozstęp

\(R\)

rozstęp (ang. range) – długość odcinka, na którym leżą wszystkie wyniki

\(x_{\max}\)

największy wynik w danych

\(x_{\min}\)

najmniejszy wynik w danych

\(IQR\)

rozstęp ćwiartkowy (międzykwartylowy) – długość odcinka, na którym leży środkowe 50% wyników

\(Q_1,\ Q_3\)

pierwszy i trzeci kwartyl, czyli 25. i 75. percentyl

Na głos czytamy: „rozstęp to największy wynik minus najmniejszy wynik”. Rozstęp ma tę samą jednostkę co dane (godziny, punkty, lata) i nigdy nie jest ujemny.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów spało przed kolokwium 6, 2, 7, 4 i 6 godzin. Przy przepisywaniu ankiet ktoś wpisał omyłkowo 22 zamiast 7. Porównajmy, jak rozstęp, odchylenie standardowe i IQR reagują na tę jedną pomyłkę.

1. Rozstęp – dane poprawne. Największy wynik to 7, najmniejszy 2. R = 7 − 2 = 5 godzin.
2. Rozstęp – dane z pomyłką. Największy wynik to teraz 22. R = 22 − 2 = 20 godzin, czyli 4 razy więcej (20 / 5 = 4).
3. Odchylenie standardowe – dane poprawne. Średnia: 25 / 5 = 5. Suma kwadratów odchyleń: 1 + 9 + 4 + 1 + 1 = 16. Wariancja: 16 / (5 − 1) = 4. SD = √4 = 2 godziny.
4. Odchylenie standardowe – dane z pomyłką. Średnia: 40 / 5 = 8. Suma kwadratów: 4 + 36 + 196 + 16 + 4 = 256. Wariancja: 256 / 4 = 64. SD = √64 = 8 godzin – też 4 razy więcej. Sama pomyłka daje 196 z 256, czyli ponad ¾ sumy kwadratów.
5. IQR – dane poprawne. Po uporządkowaniu: 2, 4, 6, 6, 7. Q1 = 4, Q3 = 6 (metoda domyślna w R), więc IQR = 6 − 4 = 2.
6. IQR – dane z pomyłką. Po uporządkowaniu: 2, 4, 6, 6, 22. Q1 = 4, Q3 = 6, IQR = 2 – bez zmian, bo kwartyle nie „widzą” skrajnego wyniku.
7. Czy 22 to wartość odstająca? Reguła 1,5 · IQR: górna granica to Q3 + 1,5 · IQR = 6 + 1,5 · 2 = 6 + 3 = 9. Wynik 22 leży daleko powyżej 9, więc jest odstający. Mediana pozostała równa 6.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Rozstęp mówi tylko o skrajach, więc w opisie łącz go z miarą tendencji centralnej i rozrzutu. W praktyce częściej niż samą różnicę podaje się minimum i maksimum, np. „od 2 do 7 godzin” – czytelnik od razu widzi, gdzie leżą dane. Jeśli rozstęp wydaje się podejrzanie duży, sprawdź surowe dane: często to pomyłka we wpisie, a nie prawdziwy wynik. Jak wygląda opis wartości skrajnych w gotowym raporcie, zobaczysz w przykładowym raporcie obserwacji odstających.

Jak policzyć rozstęp w R?

sen    <- c(6, 2, 7, 4, 6)             # dane poprawne
sen_22 <- c(6, 2, 22, 4, 6)            # pomyłka: 22 zamiast 7

# 1) „ręcznie”: rozstęp = największa − najmniejsza
max(sen) - min(sen)                    # 7 − 2 = 5
max(sen_22) - min(sen_22)              # 22 − 2 = 20

# 2) gotowe funkcje: range() zwraca min i max, diff() je odejmuje
range(sen); diff(range(sen))

# 3) porównanie trzech miar rozproszenia
miary <- function(x) c(R = diff(range(x)), IQR = IQR(x), SD = sd(x))
rbind(poprawne = miary(sen), z_pomylka = miary(sen_22))

# 4) reguła 1,5 · IQR: górna granica dla „zwykłych” wyników
quantile(sen_22, 0.75) + 1.5 * IQR(sen_22)   # 6 + 3 = 9

Wynik w konsoli R:

> max(sen) - min(sen)
[1] 5
> max(sen_22) - min(sen_22)
[1] 20
> range(sen)
[1] 2 7
> diff(range(sen))
[1] 5
> rbind(poprawne = miary(sen), z_pomylka = miary(sen_22))
           R IQR SD
poprawne   5   2  2
z_pomylka 20   2  8
> quantile(sen_22, 0.75) + 1.5 * IQR(sen_22)
75% 
  9 

Uwaga: funkcja range() w R nie zwraca rozstępu, tylko dwie liczby – minimum i maksimum. Rozstęp dostajesz dopiero po diff(range(x)).

Rozstęp, IQR czy odchylenie standardowe – co wybrać?

Gdy rozkład jest zbliżony do normalnego i nie ma wartości odstających, podaj średnią i SD – to standard w większości prac. Gdy rozkład jest skośny (np. dochody, czas reakcji, liczba nieobecności), podaj medianę i IQR. Rozstęp lub minimum i maksimum dodaj jako informację uzupełniającą, szczególnie przy opisie próby. Sam rozstęp nie wystarczy, bo nie mówi, jak wyniki rozkładają się pomiędzy skrajami: zbiory 2, 4, 6, 6, 7 oraz 2, 7, 7, 7, 7 mają ten sam rozstęp (5), ale zupełnie inny kształt.

Najczęstsze błędy

• Podawanie samego rozstępu jako jedynej miary rozrzutu.
• Niesprawdzenie, czy skrajny wynik nie jest pomyłką we wpisie (np. 22 h snu).
• Porównywanie rozstępów w grupach o bardzo różnej liczebności – większa grupa „z natury” ma większy rozstęp.
• Pisanie „rozstęp: 2–7”, gdy chodzi o minimum i maksimum – rozstęp to jedna liczba (5).
• Mylenie rozstępu z rozstępem ćwiartkowym (IQR) albo z przedziałem ufności.