Test jednostronny a dwustronny – wartość p i wartości krytyczne

Test dwustronny sprawdza, czy grupy w ogóle się różnią, a test jednostronny – czy różnią się w jednym, z góry wskazanym kierunku. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: mam hipotezę „quizy podnoszą wynik”, więc czy mogę podzielić p przez dwa?

Kiedy test jednostronny, a kiedy dwustronny?

• dwustronny – domyślny wybór; hipoteza brzmi „różnią się”, „jest związek”, „ma wpływ”;
• dwustronny także wtedy, gdy masz przeczucie co do kierunku, ale wynik w przeciwną stronę też byłby dla Ciebie ważny (np. nowa metoda nauki mogłaby szkodzić);
• jednostronny – tylko gdy hipoteza kierunkowa („quizy dają więcej punktów”) jest zapisana przed badaniem, ma uzasadnienie w teorii lub wcześniejszych badaniach, a wynik w przeciwną stronę traktowałbyś tak samo jak brak różnicy;
• jednostronny bywa też naturalny w testach, które z definicji patrzą w jedną stronę – np. statystyka F w ANOVA czy chi-kwadrat są zawsze dodatnie, a p liczy się z prawego ogona.

Wybór kierunku zmienia zarówno wartość p, jak i moc testu. Jak formułować hipotezy, piszemy we wpisie weryfikacja hipotez w pracy magisterskiej.

Wzór na p jednostronne i dwustronne

\(t\)

wartość statystyki obliczona z danych (tu: t Studenta; dla testu z wszystko wygląda tak samo)

\(T\)

statystyka „wylosowana” z rozkładu odniesienia przy prawdziwej H0 – tu z rozkładu t o 8 stopniach swobody

\(|t|\)

wartość bezwzględna – liczba bez znaku minus; test dwustronny patrzy na odległość od zera w obie strony

\(P(T \ge t)\)

pole pod krzywą na prawo od t, czyli jeden ogon rozkładu

\(\alpha\)

poziom istotności – odsetek fałszywych alarmów, na który się zgadzasz (zwykle 0,05); w teście dwustronnym dzieli się na dwa ogony po 0,025

Na głos: „p dwustronne to podwojone pole za wartością bezwzględną t; p jednostronne to pole tylko w ogonie przewidzianym w hipotezie”.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów uczyło się z notatek (1, 2, 3, 4, 5 punktów), a pięcioro z quizów (4, 5, 6, 7, 8 punktów). Test t dla prób niezależnych daje t(8) = 3,00. Policzmy p dla trzech różnych hipotez alternatywnych.

1. Statystyka. Różnica średnich 6 − 3 = 3; błąd standardowy √(2,5 · (1/5 + 1/5)) = √1 = 1; t = 3 / 1 = 3,00; df = 5 + 5 − 2 = 8.
2. Jeden ogon. Pole rozkładu t(8) na prawo od 3,00 wynosi 0,0085 (w R: pt(3, 8, lower.tail = FALSE)). W tablicach znajdziesz tylko widełki: dla df = 8 wartość 2,896 odcina 0,01, a 3,355 odcina 0,005 – nasze 3,00 leży między nimi, więc pole jest między 0,005 a 0,01.
3. Test dwustronny. Liczy oba ogony: 2 · 0,0085 = 0,017. Wartość krytyczna to t, które odcina 0,025 w każdym ogonie: 2,306 (qt(0.975, 8)).
4. Test jednostronny w przewidzianym kierunku. Hipoteza „quizy > notatki”, wynik też: quizy wyżej. p = 0,017 / 2 = 0,0085. Wartość krytyczna odcina całe 0,05 w jednym ogonie: 1,860 (qt(0.95, 8)).
5. Test jednostronny w złym kierunku. Gdyby hipoteza brzmiała „quizy < notatki”, p to pole na lewo od 3,00: 1 − 0,0085 = 0,9915. Nie wolno wtedy „zamienić” hipotezy na przeciwną po zobaczeniu wyniku.
6. To samo dla testu z. Dla rozkładu normalnego wartości krytyczne to 1,96 (pole 0,975 na lewo; qnorm(0.975)) i 1,645 (pole 0,95; qnorm(0.95)). W tablicy rozkładu normalnego 0,95 leży dokładnie między z = 1,64 (0,9495) a z = 1,65 (0,9505).
7. Kiedy kierunek zmienia decyzję. Gdyby wyszło t(8) = 2,00, p dwustronne wynosiłoby 0,081 (nieistotne), a jednostronne 0,040 (istotne). Dokładnie w takiej sytuacji pojawia się pokusa, by „dopisać” kierunek po fakcie.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

W pracy zawsze napisz, czy test był jedno-, czy dwustronny, a przy jednostronnym – dlaczego i gdzie zapisałeś hipotezę wcześniej (projekt pracy, rejestracja badania). Recenzenci są wobec testów jednostronnych podejrzliwi właśnie z powodu pokusy z kroku 7. Gdy wynik dwustronny jest istotny, przejście na jednostronny nic nie daje poza mniejszą liczbą przy p.

Jak policzyć test jednostronny i dwustronny w R?

notatki <- c(1, 2, 3, 4, 5)
quizy   <- c(4, 5, 6, 7, 8)

# 1) „ręcznie”: jedna statystyka, trzy hipotezy alternatywne
t <- (mean(quizy) - mean(notatki)) / sqrt(2.5 * (1/5 + 1/5)); df <- 8
round(c(t = t,
        dwustronny       = 2 * pt(-abs(t), df),     # H1: średnie się różnią
        quizy_wieksze    = pt(t, df, lower.tail = FALSE),  # H1: quizy > notatki
        quizy_mniejsze   = pt(t, df)), 4)                  # H1: quizy < notatki

# 2) gotowa funkcja: argument alternative
for (alt in c("two.sided", "greater", "less"))
  print(round(t.test(quizy, notatki, var.equal = TRUE, alternative = alt)$p.value, 4))

# 3) wartości krytyczne dla alfa = 0,05
round(c(z_1str = qnorm(0.95), z_2str = qnorm(0.975), t_1str = qt(0.95, 8), t_2str = qt(0.975, 8)), 3)

Wynik w konsoli R:

             t     dwustronny  quizy_wieksze quizy_mniejsze 
        3.0000         0.0171         0.0085         0.9915 
[1] 0.0171
[1] 0.0085
[1] 0.9915
z_1str z_2str t_1str t_2str 
 1.645  1.960  1.860  2.306 

W t.test() kolejność grup ma znaczenie: alternative = "greater" oznacza, że pierwsza podana grupa (tu quizy) ma większą średnią. Odwrócenie kolejności bez zmiany argumentu da p = 0,9915.

Czy mogę podzielić p przez 2?

Tylko wtedy, gdy spełnione są trzy warunki naraz: hipoteza kierunkowa była zapisana przed zebraniem danych, wynik poszedł w przewidzianą stronę i od początku planowałeś test jednostronny. Jeśli wynik poszedł w przeciwną stronę, p jednostronne wynosi 1 − p/2, a nie p/2 – i nie możesz ogłosić „istotnego efektu odwrotnego”. Jeśli decyzję podejmujesz po obejrzeniu wyników, w praktyce podwajasz błąd I rodzaju (rys. 3). Planując liczebność próby pod test jednostronny, uwzględnij to w analizie mocy.

Najczęstsze błędy

• Przejście na test jednostronny dopiero wtedy, gdy dwustronny dał p = 0,06–0,10.
• Dzielenie p przez 2, gdy wynik poszedł w przeciwnym kierunku niż hipoteza.
• Brak informacji w pracy, którą wersję testu policzono.
• Hipoteza kierunkowa w tekście („quizy podnoszą wynik”), a test dwustronny w analizie – i odwrotnie, bez żadnego wyjaśnienia.
• Pisanie „przyjęto H0”, gdy p > 0,05. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia H0”.