Test t a test z – czym się różnią i kiedy który wybrać

Test z i test t odpowiadają na to samo pytanie: czy średnie różnią się bardziej, niż mogłyby przez przypadek. Różnią się tym, skąd biorą odchylenie standardowe – i dlatego mają inne wartości krytyczne i inne p. Typowe pytanie z pracy dyplomowej: dlaczego promotor każe liczyć test t, skoro w podręczniku jest wzór na z?

Kiedy test z, a kiedy test t?

• test z: odchylenie standardowe populacji σ jest znane z zewnątrz (normy testu inteligencji, wieloletnie dane z egzaminu) – w pracach dyplomowych zdarza się to rzadko;
• test z jako przybliżenie: bardzo duże próby (setki osób), gdzie rozkład t prawie nie różni się od normalnego, oraz testy dla proporcji – zobacz test z dla dwóch proporcji;
• test t: odchylenie liczysz z próby – czyli prawie zawsze, gdy porównujesz średnie z ankiety czy eksperymentu;
• test t szczególnie przy małych grupach (kilka–kilkadziesiąt osób), bo tam różnica między testami jest największa.

W praktyce wybierasz więc odmianę testu t: dla prób niezależnych, dla prób zależnych albo dla jednej próby. Kształt rozkładu t i rolę stopni swobody wyjaśnia hasło rozkład t Studenta i stopnie swobody.

Wzór na test z i test t (dwie grupy)

\(\bar{x}_1,\ \bar{x}_2\)

średnie w grupie 1 i 2 – licznik jest w obu wzorach taki sam

\(\sigma\)

(sigma) odchylenie standardowe w populacji, znane przed badaniem

\(s_p\)

odchylenie połączone, policzone z próby: pierwiastek ze średniej ważonej wariancji obu grup

\(n_1,\ n_2\)

liczba osób w każdej grupie

\(df\)

stopnie swobody – mówią, z którego rozkładu t odczytać p; test z ich nie potrzebuje, bo zawsze korzysta z rozkładu normalnego

Na głos: „z (albo t) to różnica średnich podzielona przez jej błąd standardowy; w z błąd liczymy ze znanej sigmy, w t – z odchylenia z próby”. Dla jednej próby wzory są analogiczne: \( z = (\bar{x} - \mu_0) / (\sigma / \sqrt{n}) \), a w t zamiast σ jest s.

Przykład krok po kroku

Pięcioro studentów uczyło się z notatek (1, 2, 3, 4, 5 punktów), a pięcioro z quizów (4, 5, 6, 7, 8 punktów). Załóżmy dodatkowo, że z wieloletnich danych prowadzącego wiadomo, iż wariancja wyników tego kolokwium wynosi σ² = 2,5. Celowo wybraliśmy wartość równą wariancji z próby – dzięki temu oba testy dadzą tę samą statystykę i od razu widać, że różnica tkwi wyłącznie w rozkładzie odniesienia.

1. Średnie i różnica. 15 / 5 = 3 i 30 / 5 = 6. Różnica 6 − 3 = 3 punkty – licznik obu testów.
2. Test z: błąd standardowy ze znanej sigmy. σ² · (1/5 + 1/5) = 2,5 · 0,4 = 1; √1 = 1. Statystyka z = 3 / 1 = 3,00.
3. Test z: wartość p. W tablicy rozkładu normalnego dla z = 3,00 pole na lewo wynosi 0,99865. Prawy ogon: 1 − 0,99865 = 0,00135; oba ogony: 2 · 0,00135 = 0,0027 (w R: 2 * pnorm(-3)). Wartość krytyczna dla α = 0,05 to 1,96 (qnorm(0.975)).
4. Test t: wariancja z próby. W każdej grupie suma kwadratów odchyleń wynosi 10, więc wariancja = 10 / 4 = 2,5. Wariancja połączona: (4 · 2,5 + 4 · 2,5) / 8 = 20 / 8 = 2,5.
5. Test t: statystyka. 2,5 · 0,4 = 1; √1 = 1; t = 3 / 1 = 3,00, df = 5 + 5 − 2 = 8.
6. Test t: wartość p. W tablicy rozkładu t dla df = 8 wartość krytyczna (α = 0,05, dwustronnie) wynosi 2,306 (qt(0.975, 8)), a nasze 3,00 ją przekracza. Dokładnie: p = 0,017 (2 * pt(-3, 8)).
7. Porównanie. Ta sama liczba 3,00, a p różni się ponad sześciokrotnie: 0,0027 w teście z i 0,017 w teście t. Rozkład t ma grubsze ogony, bo uwzględnia, że s jest tylko szacunkiem σ.

Przy pięciu osobach w grupie wybór testu zmienia wniosek: test z „widzi” istotną różnicę, test t – nie. Przy stu osobach oba testy dają praktycznie to samo.

Jak zinterpretować i opisać wynik?

Jeśli odchylenia nie znałeś z góry, raportujesz test t. Wynik z testu z przy małej próbie byłby zbyt optymistyczny: p wyszłoby mniejsze, niż jest naprawdę, więc błędy I rodzaju zdarzałyby się częściej niż w 5% badań. Pamiętaj też, czym jest wartość p: to prawdopodobieństwo wyniku co najmniej tak skrajnego, gdyby metoda nauki nie miała znaczenia, a nie prawdopodobieństwo, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.

Jak policzyć test z i test t w R?

notatki <- c(1, 2, 3, 4, 5)
quizy   <- c(4, 5, 6, 7, 8)
sigma   <- sqrt(2.5)                     # znane odchylenie populacji (z wieloletnich danych)

# 1) „ręcznie”: ta sama różnica, dwa różne mianowniki i rozkłady
roznica <- mean(quizy) - mean(notatki)
s2p <- (4 * var(notatki) + 4 * var(quizy)) / 8          # wariancja połączona z próby
z <- roznica / (sigma * sqrt(1/5 + 1/5)); p_z <- 2 * pnorm(-abs(z))
t <- roznica / sqrt(s2p * (1/5 + 1/5));  p_t <- 2 * pt(-abs(t), df = 8)
round(c(z = z, p_z = p_z, t = t, p_t = p_t), 4)

# 2) gotowe funkcje
DescTools::ZTest(quizy, notatki, sd_pop = sigma)$p.value
t.test(quizy, notatki, var.equal = TRUE)$p.value

# 3) ta sama statystyka 2,00 przy 5 i przy 100 osobach w grupie
round(c(z = 2 * pnorm(-2), t_n5 = 2 * pt(-2, 8), t_n100 = 2 * pt(-2, 198)), 4)
round(c(z = qnorm(0.975), t_df8 = qt(0.975, 8), t_df198 = qt(0.975, 198)), 3)

Wynik w konsoli R:

     z    p_z      t    p_t 
3.0000 0.0027 3.0000 0.0171 
[1] 0.002699796
[1] 0.01707168
     z   t_n5 t_n100 
0.0455 0.0805 0.0469 
      z   t_df8 t_df198 
  1.960   2.306   1.972 

Rachunek „ręczny” i gotowe funkcje dają to samo: p = 0,0027 dla z i 0,0171 dla t. W podstawowym R nie ma funkcji do testu z, dlatego użyliśmy ZTest() z pakietu DescTools.

Od ilu osób test t i test z dają to samo?

Nie ma jednej granicy, ale reguła „od 30 osób można używać z” pochodzi z czasów, gdy tablice rozkładu t były krótkie. Na rys. 3 widać, że przy 30 osobach w grupie p z testu t to 0,050, a z testu z – 0,046. Różnica jest mała, ale przy wyniku „na granicy” może zmienić wniosek. Programy liczą rozkład t dla dowolnych stopni swobody, więc nie ma powodu przechodzić na z – test t jest poprawny przy każdej liczebności, a z tylko w przybliżeniu.

Najczęstsze błędy

• Liczenie testu z z odchyleniem policzonym z próby. To w rzeczywistości test t, tylko z błędnym rozkładem odniesienia.
• Używanie wartości krytycznej 1,96 przy kilku osobach w grupie. Dla df = 8 granica wynosi 2,306 (a w teście jednostronnym – 1,860).
• Przekonanie, że test t „wymaga małej próby”. Test t jest poprawny przy każdej liczebności.
• Mylenie testu z dla średnich z wynikiem standaryzowanym z pojedynczej osoby – to dwie różne rzeczy o tej samej literze.
• Pisanie „przyjęto H0”, gdy p > 0,05. Poprawnie: „brak podstaw do odrzucenia H0”.