Jak sprawdzić normalność rozkładu – Q-Q, Shapiro-Wilk i co napisać w pracy

Ten wpis pokazuje na jednym małym zbiorze (12 wyników), jak sprawdzić założenie o rozkładzie normalnym czterema sposobami: histogramem, wykresem kwantyl-kwantyl, skośnością i kurtozą oraz testami Shapiro-Wilka i Kołmogorowa-Smirnowa z poprawką Lillieforsa. Typowe pytanie promotora: „Czy sprawdził Pan założenie normalności przed testem t?”.

Krok 1. Dane i to, co naprawdę sprawdzamy

Dwunastu studentów podzielono na dwie grupy po 6 osób. Grupa „Notatki” powtarzała materiał z notatek, grupa „Quizy” rozwiązywała quizy. Chcemy porównać punkty z kolokwium testem t. Test t zakłada, że w każdej grupie wyniki pochodzą z rozkładu zbliżonego do normalnego. Inaczej mówiąc: normalne mają być reszty, czyli odległości każdego wyniku od średniej jego grupy.

Gdybyś wrzucił do jednego worka wszystkie 12 surowych wyników, mieszałbyś dwa rozkłady o różnych średnich. Przy dużej różnicy między grupami taki „worek” może wyglądać na dwugarbny, choć w każdej grupie wszystko jest w porządku. Bywa też odwrotnie: „worek” wygląda dobrze, a jedna z grup ma długi ogon. Dlatego w regresji i ANOVA sprawdza się reszty modelu, a przy dwóch grupach – każdą grupę osobno. Rysunek 1 pokazuje, czym są reszty w naszym przykładzie.

Krok 2. Histogram

Histogram to pierwsze spojrzenie: czy rozkład ma jeden szczyt, czy jest mniej więcej symetryczny i czy nie ma pojedynczych wyników daleko od reszty. Przy 12 obserwacjach słupków jest mało, więc histogram jest „kanciasty” i nie oczekuj idealnego dzwonu. U nas średnia i mediana reszt wynoszą 0, najwięcej wyników leży blisko zera, a prawy ogon jest odrobinę dłuższy (jedna osoba ma +3).

Krok 3. Wykres kwantyl-kwantyl

Na wykresie kwantyl-kwantyl każdy punkt to jedna obserwacja. Na osi poziomej jest wartość, jakiej spodziewalibyśmy się w rozkładzie normalnym, a na pionowej – wartość z danych. Jeśli rozkład jest zbliżony do normalnego, punkty układają się wzdłuż linii. To najlepsze pojedyncze narzędzie do oceny normalności, bo pokazuje też, gdzie jest problem: w ogonach, w środku czy w jednym skrajnym wyniku.

Krok 4. Skośność i kurtoza

Skośność reszt wynosi 0,54, a kurtoza −0,25 (wzory takie jak w SPSS). W rozkładzie normalnym obie są równe 0. Przy małych próbach można podzielić każdą z nich przez jej błąd standardowy. Kim (2013) proponuje, by przy próbach poniżej 50 osób za wyraźne odchylenie uznawać wartość bezwzględną tego ilorazu powyżej 1,96. Błędy standardowe wynoszą u nas 0,64 i 1,23, a ilorazy (liczone z niezaokrąglonych wartości) z = 0,85 dla skośności i z = −0,21 dla kurtozy, więc nic nie budzi niepokoju. Przy dużych próbach stosuje się progi „surowe”: skośność powyżej 2 lub kurtoza powyżej 7 co do wartości bezwzględnej oznaczają poważne odchylenie (West i in., 1995).

Krok 5. Testy Shapiro-Wilka i Kołmogorowa-Smirnowa

1. Hipotezy. H0: reszty pochodzą z rozkładu normalnego. H1: nie pochodzą. Uwaga na odwrotną logikę: tutaj „dobry” wynik to p > 0,05.
2. Test Shapiro-Wilka: W = 0,94; p = 0,513. Brak podstaw do odrzucenia H0.
3. Test Kołmogorowa-Smirnowa z poprawką Lillieforsa: D = 0,17; p = 0,472. Wniosek ten sam. Zwykłego testu K-S bez poprawki nie używaj, gdy średnią i odchylenie liczysz z tych samych danych, bo daje zawyżone p.
4. Dla porównania – każda grupa osobno: Notatki W = 0,98; p = 0,960, Quizy W = 0,93; p = 0,607. Gdybyś (niepoprawnie) zbadał wszystkie surowe punkty razem, dostałbyś W = 0,98; p = 0,989 – tu przypadkiem też „w porządku”, ale z innego powodu.
5. Decyzja: wykresy, skośność, kurtoza i testy mówią to samo, więc test t jest uzasadniony. Shapiro-Wilk ma zwykle większą moc niż K-S (Razali i Wah, 2011), dlatego to jego wynik podaj w pracy.

Krok 6. Co napisać w pracy?

W metodzie wystarczy jedno takie zdanie, a wykres Q-Q możesz przenieść do aneksu. Nie pisz „rozkład jest normalny” – nieistotny wynik testu oznacza tylko brak podstaw do odrzucenia H0. Jak wygląda pełna eksploracja w raporcie, zobaczysz w przykładowym raporcie eksploracji danych, a dalszy ciąg tej analizy – we wpisie test t Studenta – przykład.

Cała analiza w R

# Punkty z kolokwium (0–12): 12 studentów w dwóch grupach po 6 osób
notatki <- c(2, 3, 4, 4, 5, 6)
quizy   <- c(6, 7, 7, 8, 9, 11)
punkty  <- c(notatki, quizy)
grupa   <- factor(rep(c("Notatki", "Quizy"), each = 6))

# Reszty = wynik minus średnia własnej grupy (tak samo liczy je model)
model  <- lm(punkty ~ grupa)
reszty <- residuals(model)
round(reszty, 2)

# 1) ocena wzrokowa: histogram i wykres kwantyl-kwantyl
hist(reszty, main = "Reszty", xlab = "punkty")
qqnorm(reszty); qqline(reszty, lty = 2)

# 2) skośność i kurtoza (wzory jak w SPSS)
sk <- e1071::skewness(reszty, type = 2); ku <- e1071::kurtosis(reszty, type = 2)
n  <- length(reszty)
se_sk <- sqrt(6 * n * (n - 1) / ((n - 2) * (n + 1) * (n + 3)))
se_ku <- 2 * se_sk * sqrt((n^2 - 1) / ((n - 3) * (n + 5)))
round(c(skosnosc = sk, z_sk = sk / se_sk, kurtoza = ku, z_ku = ku / se_ku), 2)

# 3) testy normalności reszt
shapiro.test(reszty)
nortest::lillie.test(reszty)

# 4) dla porównania: każda grupa osobno (p Shapiro-Wilka)
sapply(split(punkty, grupa), function(x) round(shapiro.test(x)$p.value, 3))

Wynik w konsoli R:

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 
-2 -1  0  0  1  2 -2 -1 -1  0  1  3 
skosnosc     z_sk  kurtoza     z_ku 
    0.54     0.85    -0.25    -0.21 

	Shapiro-Wilk normality test

data:  reszty
W = 0.94115, p-value = 0.513


	Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  reszty
D = 0.16667, p-value = 0.4724

Notatki   Quizy 
  0.960   0.607 

Checklista przed oddaniem rozdziału

• Normalność sprawdzona na resztach albo w każdej grupie osobno, nie na całej zmiennej.
• Jest wykres (Q-Q lub histogram), a nie tylko p testu.
• Podana skośność i kurtoza; przy małej próbie także ich wartości z.
• Wynik testu Shapiro-Wilka zapisany jako W i p, bez słów „rozkład jest normalny”.
• Wiesz, co zrobisz, jeśli założenie nie jest spełnione – opisaliśmy to we wpisie brak normalności rozkładu – co robić?

Pytania, które studenci wpisują w Google

Shapiro-Wilk czy Kołmogorow-Smirnow – który test wybrać?

Shapiro-Wilka. Przy tej samej liczbie osób częściej wykrywa odchylenia od normalności. Test K-S podawaj tylko w wersji z poprawką Lillieforsa i najlepiej jako uzupełnienie.

Mam 300 osób i Shapiro-Wilk zawsze wychodzi istotny. Co teraz?

Przy dużej próbie test wykrywa nawet drobne odchylenia, które nie szkodzą testowi t (Ghasemi i Zahediasl, 2012). Wtedy decyduj na podstawie wykresu Q-Q i skośności. Przy kilkudziesięciu osobach w grupie średnie mają rozkład zbliżony do normalnego dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu, o ile nie ma skrajnych wyników.

Czy sprawdzać normalność w korelacji i regresji?

W regresji – tak, na resztach modelu. Krok po kroku pokazujemy to we wpisie diagnostyka regresji na wykresach.